항등원

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항등원(恒等元)은 군론 등의 대수학에서 다루는 기본적인 개념으로, 집합의 어떤 원소와 연산을 취해도 자기 자신이 되는 원소를 말한다. 항등원이 무엇인지는 집합과 이항연산의 종류에 따라 달라진다.

정의[편집]

집합 SS에 대해 닫혀 있는 이항연산 *로 이루어진 마그마 (S, *)가 주어졌을 때,

  • S의 모든 원소 a에 대해 eL * a = a가 성립한다면, eL좌항등원이라 한다.
  • S의 모든 원소 a에 대해 a * eR = a가 성립한다면, eR우항등원이라 한다.
  • 만약 좌항등원과 우항등원이 같다면, e = eL = eR항등원이라 한다.

환론체론 등에서는 특별히 덧셈에 대한 항등원곱셈에 대한 항등원을 구분하기도 하며, 특별히 곱셈에 대한 항등원을 단위원(單位元, unity)이라고 부르기도 한다.

항등원의 예[편집]

집합 연산자 항등원
실수 + (덧셈) 0
실수 × (곱셈) 1
정사각행렬 행렬의 덧셈 영행렬
정사각행렬 행렬의 곱셈 단위행렬
함수 합성함수 항등함수

같이 읽기[편집]