행렬

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행렬의 특정 성분은 보통 문자에 두 개의 첨자를 붙여서 표시한다. 예를 들어, a2,1 는 행렬 A의 2행 1열에 위치한 원소를 가리킨다.

수학에서, 행렬(行列, matrix)은 나 기호, 수식 등을 네모꼴로 배열한 것으로, 괄호로 묶어 표시한다. 다음 여섯 개의 원소를 가진 2 × 3 행렬의 예이다.

크기와 모양이 같은 행렬은 원소별로 더하거나 뺄 수 있다. 행렬을 하는 방법은 더 복잡하며, 앞선 행렬의 열의 수와 뒤선 행렬의 행의 수가 같을 때에만 곱셈이 행해진다. 선형변환(f (x) = 4x와 같은 일차함수의 일반화)의 행렬 표현은 행렬의 중요한 응용이다. 선형 변환의 예인 삼차원 공간 벡터의 회전회전행렬로 나타낼 수 있다. R이 회전행렬, v가 공간 위 점의 위치를 가리키는 열벡터(한 개의 열로 된 행렬)라고 하면, 곱 Rv은 회전 후의 점의 위치를 가리키는 새 열벡터이다. 두 행렬의 곱은 두 선형 변환의 합성을 나타낸다. 행렬은 또한 연립일차방정식의 풀이에도 응용된다. 정사각행렬의 일부 성질은 그 행렬식을 계산함으로써 알아낼 수 있다. 예를 들어 행렬의 가역성 문제는 행렬식의 값이 0인지 아닌지로 전환할 수 있다. 선형 변환에 대한 기하학적 통찰은 그 고유벡터고윳값을 찾아냄으로써 얻어낼 수 있다.

행렬은 과학의 곳곳에서 그 응용 분야가 발견된다. 물리학에서는 전기 회로, 광학, 양자 역학 등에서 쓰이고, 컴퓨터 그래픽스에서는 3차원 이미지를 2차원 평면에 투영하거나 사실적인 움직임을 그려내기 위해서 사용한다. 행렬 미적분학의 발견으로 미분이나 지수 함수 같은 고전 해석학적 개념을 더 높은 차원으로 일반화시키기도 했다.

수치해석학의 한 분과에서는 몇 세기 전부터 수학자들이 관심가져 왔던 더 효율적인 행렬 계산법 알고리즘을 개발하는 데 헌신하고 있다. 행렬 분해법(Matrix decomposition methods)은 행렬의 계산을 이론과 실응용 부문 모두에서 단순화시켰고, 특정한 구조의 행렬에 맞춤화된 알고리즘(예: 희소행렬, 대각행렬 등)은 유한요소법 및 다른 계산 분야에 진척을 가져왔다. 행성 이론이나 원자론에서는 무한 행렬도 등장하는데, 함수의 테일러 전개에 작용하는 미분 연산자의 행렬이 그 예다.

정의[편집]

용어[편집]

행렬 안에 배열된 구성원들을 성분(entry) 또는 , 원소(element)라고 한다. 행렬의 가로줄을 (行, row), 세로줄을 (列, column)이라고 한다. m 개의 행, n 개의 열로 이루어진 행렬을 m × n 행렬이라고 한다. 한 행 또는 한 열 뿐인 행렬을 벡터에 빗대어 열벡터, 행백터라고 한다. 행과 열의 개수가 같은 행렬을 (n차) 정사각행렬이라고 한다. 위에서 아래로 i번째인 행을 i, 왼쪽에서 오른쪽으로 j번째인 열을 j이라고 한다. ij열에 위치한 성분을 (i, j) 성분이라고 한다. 행과 열의 지표수가 같은 성분을 대각성분(대각항, diagonal entry)이라고 한다. 예를 들어 행렬

은 3 × 4 행렬이고, 5를 (2, 3) 성분으로 한다. 행렬

은 각각 1 × 5 행벡터, 3 × 1 열벡터이다.

표기법[편집]

행렬의 직사각형 모양으로 배열하고 대괄호소괄호로 감싸 표기한다. 행렬은 주로 대문자로 나타내고, 다른 대상과의 구별을 위해 굵은 글씨체를 자주 사용한다(예: A, 또는 A). 행렬의 각 성분은 문자에 행과 열의 지표를 첨수하여 나타낸다(예: aij, 또는 ai,j, Aij, A[i, j], A(i, j)). 모든 항을 나열하는 대신, '일반항'을 간추려 표기하기도 한다. 이때 불분명해진 지표의 범위를 표기해줄 수 있다.

엄밀한 정의[편집]

행렬은 엄밀하게는 정수의 순서쌍 (i, j)(1 ≤ im, 1 ≤ jn)의 집합에서 성분들이 속하는 집합으로 가는 함수로 정의된다.[1] 실행렬(모든 성분이 실수인 행렬)을 예로 들면,

(여기서 [n] = {1, ..., n})따라서 모든 m × n 실행렬의 집합은 [m] × [n]에서 로 가는 함수의 집합임을 나타내는 m × n으로 표기한다. 행렬의 상등의 의미도 함수 정의로부터 자연스럽게 드러난다. 예를 들어 두 실행렬 A ∈ ℝm × n, B ∈ ℝp × qA = B필요충분조건은, m = p, n = q, 그리고 aij = bij가 모든 정수 순서쌍 (i, j)(1 ≤ im, 1 ≤ jn)에 대해 성립한다는 것이다.

기본 연산[편집]

덧셈, 뺄셈, 스칼라배[편집]

주어진 두 m × n 행렬 AB에 대해, 덧셈과 뺄셈은 각각 성분별 덧셈과 뺄셈으로 정의된다. 즉,

예를 들어,

크기가 다른 행렬들에게는 덧셈과 뺄셈이 정의되지 않는다.

주어진 m × n 행렬 A스칼라 k에 대해, 스칼라배 연산은 성분별로 스칼라배를 취한 것으로 정의된다. 즉,

예를 들어,

kl을 스칼라, A, B, C를 크기가 같은 행렬이라 하자. 이때 다음 성질들이 성립한다.

이들 성질은 모두 그 행렬 성분의 성질로부터 유도된다. 이를테면 덧셈의 교환법칙은 다음과 같이 유도된다.

곱셈[편집]

행렬 AB의 곱 AB의 계산법

주어진 m × n 행렬 An × p 행렬 B의 곱은 m × p 행렬이며, 각 (i, j) 성분은 Ai행벡터와 Bj열벡터의 점곱으로 정의된다.

예를 들어,

.

왼쪽의 행렬의 열수와 오른쪽의 행렬의 행수가 같지 않다면, 곱셈은 정의되지 않는다.

k를 스칼라, A, B, C를 각 공식에서 연산이 정의되도록 크기를 정한 행렬이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.

행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다. 우선, AB가 정의되었어도, BA는 정의되지 않았을 수 있다. 둘 모두 정의되었어도, 크기가 다를 수 있다. 크기가 같은 경우(즉 AB가 같은 크기의 정사각행렬인 경우)에도, 두 곱셈의 결과값은 다를 수 있다. 즉 일반적으로

다만, 특수한 조건을 만족하는 경우에는 교환법칙이 성립한다. 다음과 같은 조건을 만족할 때 행과 열의 갯수가 같은 정사각행렬 AB에 대해 곱셈의 교환법칙이 성립한다.[2]

  • 이면 이다.
  • (E는 단위행렬)이면 이다.
  • 이면 이다.
  • (p, q는 실수) 이면 이다.
  • 이면 이다.

위의 조건들은 충분조건이다. 즉, 정사각행렬 AB가 위의 조건을 만족할 때 곱셈의 교환법칙이 성립하지만, 곱셈의 교환법칙이 성립하는 모든 행렬이 위의 조건을 만족하는 것은 아니다.[2]

일반적으로 곱셈의 교환조건을 만족하는 정사각행렬 AB는 다음의 교환법칙을 만족하고 그 역도 만족한다. 즉 다음의 식에 대해 필요충분조건을 이룬다.[2]

전치[편집]

행렬의 전치란 행과 열을 바꾸는 것으로, 행렬 A의 전치는 AT로 나타낸다. 즉 주어진 m×n 행렬 A의 전치는 다음과 같이 정의한다.

여기서 ATm×n 행렬이 아니라 n×m 행렬임에 유의하자.

예를 들어,

.

전치의 성질[편집]

a를 스칼라, A, B를 크기가 같은 행렬이라 하자. 이때 다음이 성립한다.

  1. (AT)T = A
  2. (A + B)T = AT + BT
  3. (A - B)T = AT - BT
  4. (aA)T = aAT
  5. (AB)T = BTAT

행벡터와 열벡터의 연산[편집]

정사각행렬의 연산[편집]

대각합[편집]

대각합이란 정사각행렬의 대각항들의 원소를 전부 더하는 것을 말한다. 즉, 어떤 n차 정사각행렬 A의 대각합은 다음과 같다.

대각합의 성질[편집]

c를 스칼라, A, B를 크기가 같은 정사각행렬이라 하자. 이때 다음이 성립한다.

  1. tr(AT) = tr(A)
  2. tr(cA) = c tr(A)
  3. tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
  4. tr(A - B) = tr(A) - tr(B)
  5. tr(AB) = tr(BA)

행렬식[편집]

행렬식 또는 로 표시하며 선형 행렬 A의 크기를 나타낸다. 행렬 2x2 행렬 A가

와 같이 주어진다면, det(A)는

와 같이 정의된다.

특수한 행렬[편집]

영행렬이란 행렬의 모든 원소의 값이 0인 행렬을 말한다. 영행렬은 덧셈에 대한 항등원이다.

단위행렬은 정사각행렬 중에서 행 번호와 열 번호가 같은 위치의 값은 1이고, 나머지는 0을 가지는 행렬을 말한다. 이 행렬은 곱셈에 대한 항등원이다.

역행렬이란 어떤 행렬의 곱셈에 대한 역원이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Hoffman, Kenneth (1971년 4월 1일). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Prentice Hall. 6쪽. ISBN 0-13-536797-2. 
  2. 행렬의 교환법칙은 언제 성립하나요?, 전국수학교사모임