직교행렬

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선형대수학에서, 직교 행렬(直交行列, orthogonal matrix)은 행벡터와 열벡터가 유클리드 공간정규 직교 기저를 이루는 실수 행렬이다.

정의[편집]

실수 행렬 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 행렬이라고 한다.

  • . 즉, 전치 행렬역행렬이다.
  • 의 열벡터들은 정규 직교 기저를 이룬다.
  • 의 행벡터들은 정규 직교 기저를 이룬다.
  • 의 모든 정규 직교 기저 에 대하여, 의 정규 직교 기저이다.
  • 의 어떤 정규 직교 기저 에 대하여, 의 정규 직교 기저이다.
  • 임의의 벡터 에 대하여,
  • 임의의 벡터 에 대하여,

성질[편집]

모든 직교 행렬은 가역 행렬이며, 직교 행렬의 곱은 항상 직교 행렬이므로, 직교 행렬의 집합은 직교군 이라는 을 이룬다. 행렬식이 1인 직교 행렬의 집합은 특수직교군 이라는 부분군을 이룬다.

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실수 직교 행렬은 다음과 같은 꼴과 동치이다.

실수 직교 행렬은 다음과 같은 꼴과 동치이다.

같이 보기[편집]