유니터리 행렬

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선형대수학에서, 유니타리 행렬(영어: unitary matrix)는 켤레 전치역행렬과 같은 복소수 행렬이다.

정의[편집]

복소수 행렬 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유니타리 행렬이라고 한다.

  • 의 열들은 정규 직교 기저를 이룬다.
  • 의 행들은 의 정규 직교 기저를 이룬다.
  • 에서, 모든 정규 직교 기저 에 대하여, 는 정규 직교 기저이다.
  • 에서, 어떤 정규 직교 기저 에 대하여, 는 정규 직교 기저이다.
  • 정규 행렬이며, 모든 고윳값절댓값은 1이다.
  • 임의의 에 대하여, .
  • 임의의 에 대하여, .

여기서 켤레 전치, 의 표준 내적, 의 표준 노름이다.

성질[편집]

실수 행렬의 경우 유니타리 행렬은 직교 행렬과 동치이다.[1]:304

유니타리 행렬 는 다음과 같은 성질을 갖는다.

  • 정규 행렬이다.
  • 대각화 가능하다. 이는 스펙트럼 정리의 결과에 따라 가 대각행렬과 유니타리하게 닮음이란 것이다. 와 같이 분해할 수 있다. 여기서 는 유니타리 행렬, 대각 유니타리 행렬이다.
  • 고유 공간은 정규 직교다.
  • 에르미트 행렬 가 존재한다. (행렬 지수 함수)

모든 유니타리 행렬의 집합은 행렬 곱셈에 따라 을 이루며, 이를 유니타리 군 이라고 한다.

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복소수 행렬의 경우, 유니타리 행렬은 다음과 같다.

복소수 행렬의 경우, 유니타리 행렬은 다음과 같다.

각주[편집]

  1. Hoffman, Kenneth (1971년 4월 1일). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 0-13-536797-2.