선형대수학 에서, 행렬 의 합동 (合同, 영어 : congruence )은 두 행렬이 같은 이차 형식 의 서로 다른 기저 에 대한 표현임을 나타내는 관계이다.
체
K
{\displaystyle K}
위의 두
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
행렬
A
,
B
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle A,B\in \operatorname {Mat} (n;K)}
에 대하여, 만약 다음을 만족시키는 가역 행렬
P
∈
GL
(
n
;
K
)
{\displaystyle P\in \operatorname {GL} (n;K)}
가 존재한다면,
A
,
B
{\displaystyle A,B}
가 서로 합동 이라고 한다.
P
⊤
A
P
=
B
{\displaystyle P^{\top }AP=B}
여기서
(
−
)
⊤
{\displaystyle (-)^{\top }}
는 전치 행렬 이다. 행렬의 합동은 동치 관계 를 이룬다.
대칭 행렬 [ 편집 ]
표수 가 2가 아닌 체
K
{\displaystyle K}
를 원소로 하는 대칭 행렬
A
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;K)}
은 대각 행렬 과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬
P
∈
GL
(
n
;
K
)
{\displaystyle P\in \operatorname {GL} (n;K)}
가 존재한다.
P
⊤
A
P
=
(
d
1
⋱
d
r
0
⋱
0
)
(
d
i
≠
0
,
0
≤
r
≤
n
)
{\displaystyle P^{\top }AP={\begin{pmatrix}d_{1}\\&\ddots \\&&d_{r}\\&&&0\\&&&&\ddots \\&&&&&0\end{pmatrix}}\qquad (d_{i}\neq 0,\;0\leq r\leq n)}
0이 아닌 대각 원소의 개수
r
{\displaystyle r}
는
A
{\displaystyle A}
의 계수 와 같다.
행렬의 크기에 대한 수학적 귀납법 을 사용하자.
우선,
1
×
1
{\displaystyle 1\times 1}
행렬은 이미 자기 자신이 대각 행렬이다.
이제,
(
n
−
1
)
×
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)\times (n-1)}
행렬에 대하여 성립한다고 가정하고
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
행렬
A
{\displaystyle A}
에 대하여 성립함을 증명하자. 영행렬 은 이미 자기 자신이 대각 행렬이므로,
A
≠
0
{\displaystyle A\neq 0}
인 경우만을 생각하자. 그렇다면,
A
i
j
≠
0
{\displaystyle A_{ij}\neq 0}
인
1
≤
i
,
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq i,j\leq n}
이 존재한다. 만약
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
라면,
A
{\displaystyle A}
의
i
{\displaystyle i}
번째 행에
j
{\displaystyle j}
번째 열을 더한 뒤, 다시
i
{\displaystyle i}
번째 열에
j
{\displaystyle j}
번째 열을 더하여 얻는 행렬
(
I
+
E
i
j
)
⊤
A
(
I
+
E
i
j
)
{\displaystyle (I+E_{ij})^{\top }A(I+E_{ij})}
은 원래 행렬과 합동이며,
i
{\displaystyle i}
번째 대각 원소는
2
A
i
i
{\displaystyle 2A_{ii}}
이며, 체의 표수가 2가 아니므로
2
A
i
i
≠
0
{\displaystyle 2A_{ii}\neq 0}
이다. 즉, 일반성을 잃지 않고
i
=
j
{\displaystyle i=j}
라고 할 수 있다. 만약
i
≠
1
{\displaystyle i\neq 1}
이라면,
A
{\displaystyle A}
의 1번째 행과
i
{\displaystyle i}
번째 행을 교환한 뒤, 1번째 열과
i
{\displaystyle i}
번째 행을 교환하여 얻는 행렬
(
I
−
E
i
i
−
E
j
j
+
E
i
j
+
E
j
i
)
⊤
A
(
I
−
E
i
i
−
E
j
j
+
E
i
j
+
E
j
i
)
{\displaystyle (I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji})^{\top }A(I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji})}
은 원래의 행렬과 합동이며, 1번째 대각 원소가
A
i
i
≠
0
{\displaystyle A_{ii}\neq 0}
이므로, 일반성을 잃지 않고
i
=
1
{\displaystyle i=1}
라고 할 수 있다. 즉,
A
{\displaystyle A}
가
A
11
≠
0
{\displaystyle A_{11}\neq 0}
를 만족시킨다고 보아도 무방하다. 이제 다시 다음과 같은 일련의 기본 행 연산의 합성을 생각하자.
P
=
I
−
∑
i
=
2
n
A
11
−
1
A
i
1
E
i
1
{\displaystyle P=I-\sum _{i=2}^{n}A_{11}^{-1}A_{i1}E_{i1}}
그렇다면,
P
⊤
A
P
{\displaystyle P^{\top }AP}
는 원래 행렬과 합동이며,
0
=
(
P
⊤
A
P
)
12
=
⋯
=
(
P
⊤
A
P
)
1
n
=
(
P
⊤
A
P
)
21
=
(
P
⊤
A
P
)
n
1
{\displaystyle 0=(P^{\top }AP)_{12}=\cdots =(P^{\top }AP)_{1n}=(P^{\top }AP)_{21}=(P^{\top }AP)_{n1}}
이 성립한다. 또한, 그 오른쪽 아래의 부분 행렬
(
(
P
⊤
A
P
)
i
j
)
i
,
j
=
2
n
{\displaystyle ((P^{\top }AP)_{ij})_{i,j=2}^{n}}
은
(
n
−
1
)
×
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)\times (n-1)}
행렬이므로 수학적 귀납법의 가정에 따라 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는
d
2
,
…
,
d
n
∈
K
{\displaystyle d_{2},\dots ,d_{n}\in K}
및
Q
∈
GL
(
n
−
1
;
K
)
{\displaystyle Q\in \operatorname {GL} (n-1;K)}
가 존재한다.
Q
⊤
(
(
P
⊤
A
P
)
i
j
)
i
,
j
=
2
n
Q
=
diag
(
d
2
,
…
,
d
n
)
{\displaystyle Q^{\top }((P^{\top }AP)_{ij})_{i,j=2}^{n}Q=\operatorname {diag} (d_{2},\dots ,d_{n})}
따라서,
A
{\displaystyle A}
는 다음과 같은 대각 행렬과 합동이다.
(
1
Q
)
⊤
P
⊤
A
P
(
1
Q
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\&Q\end{pmatrix}}^{\top }P^{\top }AP{\begin{pmatrix}1\\&Q\end{pmatrix}}}
=
(
1
Q
⊤
)
(
A
11
(
P
⊤
A
P
)
22
⋯
(
P
⊤
A
P
)
2
n
⋮
⋱
⋮
(
P
⊤
A
P
)
n
2
⋯
(
P
⊤
A
P
)
n
n
)
(
1
Q
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}1\\&Q^{\top }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{11}\\&(P^{\top }AP)_{22}&\cdots &(P^{\top }AP)_{2n}\\&\vdots &\ddots &\vdots \\&(P^{\top }AP)_{n2}&\cdots &(P^{\top }AP)_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\&Q\end{pmatrix}}}
=
(
A
11
d
2
⋱
d
n
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}A_{11}\\&d_{2}\\&&\ddots \\&&&d_{n}\end{pmatrix}}}
증명 (쌍선형 형식의 언어를 사용하여 서술):
대칭 쌍선형 형식
B
:
V
×
V
→
K
{\displaystyle B\colon V\times V\to K}
가 있다고 하자. 증명하려는 바는
B
(
u
i
,
u
j
)
=
0
{\displaystyle B(u_{i},u_{j})=0}
(
1
≤
i
<
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq i<j\leq n}
)인 기저
{
u
1
,
⋯
,
u
n
}
{\displaystyle \{u_{1},\cdots ,u_{n}\}}
의 존재이다.
벡터 공간의 차원에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.
1차원의 경우는 자명하다.
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
차원의 경우에 대하여 성립한다고 가정하고,
n
{\displaystyle n}
차원의 경우에 대하여 증명하자.
B
=
0
{\displaystyle B=0}
인 경우는 자명하므로,
B
≠
0
{\displaystyle B\neq 0}
의 경우만을 생각하자. 이 경우,
B
(
u
1
,
u
1
)
≠
0
{\displaystyle B(u_{1},u_{1})\neq 0}
인
0
≠
u
1
∈
V
{\displaystyle 0\neq u_{1}\in V}
가 존재한다. (그렇지 않다면,
B
(
u
+
v
,
u
+
v
)
=
B
(
u
,
u
)
+
2
B
(
u
,
v
)
+
B
(
v
,
v
)
{\displaystyle B(u+v,u+v)=B(u,u)+2B(u,v)+B(v,v)}
이며
K
{\displaystyle K}
의 표수가 2가 아님에 따라
B
=
0
{\displaystyle B=0}
이므로 모순이다.) 그렇다면,
B
{\displaystyle B}
를 직교 여공간
(
Span
{
u
1
}
)
⊥
=
{
v
∈
V
:
B
(
u
1
,
v
)
=
0
}
{\displaystyle (\operatorname {Span} \{u_{1}\})^{\perp }=\{v\in V\colon B(u_{1},v)=0\}}
에 제한시켰을 때 여전히 쌍선형 형식을 이루므로, 수학적 귀납법의 가정에 따라,
B
(
u
i
,
u
j
)
=
0
{\displaystyle B(u_{i},u_{j})=0}
(
2
≤
i
<
j
≤
n
{\displaystyle 2\leq i<j\leq n}
)인
(
Span
{
u
1
}
)
⊥
{\displaystyle (\operatorname {Span} \{u_{1}\})^{\perp }}
의 기저
{
u
2
,
…
,
u
n
}
{\displaystyle \{u_{2},\dots ,u_{n}\}}
이 존재한다. 또한, 직교 여공간의 정의에 따라,
0
=
B
(
u
1
,
u
2
)
=
⋯
=
B
(
u
1
,
u
n
)
{\displaystyle 0=B(u_{1},u_{2})=\cdots =B(u_{1},u_{n})}
이며,
{
u
1
,
…
,
u
n
}
{\displaystyle \{u_{1},\dots ,u_{n}\}}
는
V
{\displaystyle V}
의 기저를 이룬다.
이차 형식이 0인 경우 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이므로, 0이 아닌 이차 형식에 대하여 증명하면 된다.
체
K
{\displaystyle K}
의 표수가 2가 아니므로, 그 위의 이차 형식은 다음과 같은 꼴이다.
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
i
x
j
(
a
i
j
=
a
j
i
∈
K
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\qquad (a_{ij}=a_{ji}\in K)}
이차 형식의 변수의 개수
n
{\displaystyle n}
에 대한 수학적 귀납법 을 사용하자.
1변수의 경우, 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이다.
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
변수에 대하여 성립한다고 가정하고
n
{\displaystyle n}
변수에 대하여 증명하자. 만약 계수가 0이 아닌 제곱항을 가진다면, 일반성을 잃지 않고
a
11
≠
0
{\displaystyle a_{11}\neq 0}
라고 하자. 그렇다면, 이차 형식을 다음과 같이 변형할 수 있다.
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
i
x
j
=
a
11
x
1
2
+
2
x
1
∑
j
=
2
n
a
1
j
x
j
+
∑
i
=
2
n
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
i
x
j
=
a
11
(
x
1
2
+
2
a
11
−
1
x
1
∑
j
=
2
n
a
1
j
x
j
+
a
11
−
2
(
∑
j
=
2
n
a
1
j
x
j
)
2
−
a
11
−
2
(
∑
j
=
2
n
a
1
j
x
j
)
2
)
+
∑
i
=
2
n
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
i
x
j
=
a
11
(
x
1
+
a
11
−
1
∑
j
=
2
n
a
1
j
x
j
)
2
−
a
11
−
1
(
∑
j
=
2
n
a
1
j
x
j
)
2
+
∑
i
=
2
n
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
i
x
j
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}&=a_{11}x_{1}^{2}+2x_{1}\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\\&=a_{11}\left(x_{1}^{2}+2a_{11}^{-1}x_{1}\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}+a_{11}^{-2}\left(\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}-a_{11}^{-2}\left(\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}\right)+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\\&=a_{11}\left(x_{1}+a_{11}^{-1}\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}-a_{11}^{-1}\left(\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\end{aligned}}}
오른쪽의
−
a
11
−
1
(
∑
j
=
2
n
a
1
j
x
j
)
2
+
∑
i
=
2
n
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
i
x
j
{\displaystyle -a_{11}^{-1}\left(\sum _{j=2}^{n}a_{1j}x_{j}\right)^{2}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}
는
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
변수 이차 형식이므로, 제곱합이 되는 가역 변수 변환이 다음과 같이 존재한다.
x
2
=
b
22
y
2
+
⋯
+
b
2
n
y
n
{\displaystyle x_{2}=\qquad b_{22}y_{2}+\cdots +b_{2n}y_{n}}
⋮
{\displaystyle \vdots }
x
n
=
b
n
2
y
2
+
⋯
+
b
n
n
y
n
{\displaystyle x_{n}=\qquad b_{n2}y_{2}+\cdots +b_{nn}y_{n}}
또한, 변수
y
1
{\displaystyle y_{1}}
를 다음과 같이 정의하자.
x
1
=
y
1
−
a
11
−
1
a
12
x
2
+
⋯
+
a
11
−
1
a
1
n
x
n
=
y
1
+
c
2
y
2
+
⋯
+
c
n
y
n
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=y_{1}-a_{11}^{-1}a_{12}x_{2}+\cdots +a_{11}^{-1}a_{1n}x_{n}\\&=y_{1}+c_{2}y_{2}+\cdots +c_{n}y_{n}\end{aligned}}}
그렇다면, 이러한 변수 변환은 가역 변환이며, 원래의 이차 형식을 제곱합으로 만든다.
만약 모든 제곱항의 계수가 0이라면, 이차 형식이 0이 아니라고 전제하였으므로, 일반성을 잃지 않고
a
12
≠
0
{\displaystyle a_{12}\neq 0}
이라고 하자. 그렇다면, 가역 변수 변환
x
1
=
y
1
+
y
2
{\displaystyle x_{1}=y_{1}+y_{2}}
x
2
=
y
1
−
y
2
{\displaystyle x_{2}=y_{1}-y_{2}}
x
3
=
y
3
{\displaystyle x_{3}=y_{3}}
⋮
{\displaystyle \vdots }
x
n
=
y
n
{\displaystyle x_{n}=y_{n}}
을 통해 원래의 이차 형식은
2
a
12
(
y
1
2
−
y
2
2
)
+
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
:
(
i
,
j
)
≠
(
1
,
2
)
a
i
j
x
i
x
j
{\displaystyle 2a_{12}(y_{1}^{2}-y_{2}^{2})+\sum _{1\leq i<j\leq n\colon (i,j)\neq (1,2)}a_{ij}x_{i}x_{j}}
로 바뀌며, 이는 계수가 0이 아닌 제곱항이 있는 이차 형식이므로 다시 가역 변수 변환을 통해 제곱합으로 만들 수 있다.
표수가 2가 아닌 체 위의 대칭 행렬에 일련의 서로 전치 기본 행 연산 의 쌍들을 가하여 그와 합동인 대각 행렬로 만들 수 있다. 실수 대칭 행렬의 경우 고윳값을 대각 원소로 하는 대각 행렬을 취하면 된다.
복소수 대칭 행렬 [ 편집 ]
복소수 대칭 행렬
A
∈
Mat
(
n
;
C
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )}
는 1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 동치이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬
P
∈
GL
(
n
;
C
)
{\displaystyle P\in \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}
가 존재한다.
P
⊤
A
P
=
(
1
⋱
1
}
r
0
⋱
0
)
(
0
≤
r
≤
n
)
{\displaystyle P^{\top }AP={\begin{pmatrix}\left.{\begin{matrix}1\\&\ddots \\&&1\end{matrix}}\right\}{\scriptstyle r}\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{pmatrix}}\qquad (0\leq r\leq n)}
1의 개수
r
{\displaystyle r}
는 합동의 완전한 불변량이다.
실수 대칭 행렬 [ 편집 ]
실수 대칭 행렬
A
∈
Mat
(
n
;
R
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )}
는 1, -1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬
P
∈
GL
(
n
;
R
)
{\displaystyle P\in \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )}
가 존재한다.
P
⊤
A
P
=
(
1
⋱
1
}
p
−
1
⋱
−
1
}
q
0
⋱
0
)
(
0
≤
p
,
q
≤
p
+
q
≤
n
)
{\displaystyle P^{\top }AP={\begin{pmatrix}\left.{\begin{matrix}1\\&\ddots \\&&1\end{matrix}}\right\}{\scriptstyle p}\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left.{\begin{matrix}-1\\&\ddots \\&&-1\end{matrix}}\right\}{\scriptstyle q}\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{pmatrix}}\qquad (0\leq p,q\leq p+q\leq n)}
1의 개수
p
{\displaystyle p}
와 -1의 개수
q
{\displaystyle q}
는 합동의 완전한 불변량이다. 이를 실베스터 관성 법칙 이라고 한다.
증명 (쌍선형 형식의 언어를 사용하여 서술):
대칭 쌍선형 형식
B
:
V
×
V
→
K
{\displaystyle B\colon V\times V\to K}
가 다음을 만족시키는 기저
{
u
1
,
…
,
u
n
}
{\displaystyle \{u_{1},\dots ,u_{n}\}}
를 갖는다고 하자.
B
(
u
1
,
u
1
)
=
⋯
=
B
(
u
p
,
u
p
)
=
1
{\displaystyle B(u_{1},u_{1})=\cdots =B(u_{p},u_{p})=1}
B
(
u
p
+
1
,
u
p
+
1
)
=
⋯
=
B
(
u
r
,
u
r
)
=
−
1
{\displaystyle B(u_{p+1},u_{p+1})=\cdots =B(u_{r},u_{r})=-1}
B
(
u
i
,
u
j
)
=
B
(
u
r
+
1
,
u
r
+
1
)
=
⋯
=
B
(
u
n
,
u
n
)
=
0
(
1
≤
i
<
j
≤
n
)
{\displaystyle B(u_{i},u_{j})=B(u_{r+1},u_{r+1})=\cdots =B(u_{n},u_{n})=0\qquad (1\leq i<j\leq n)}
다음을 보이는 것으로 족하다.
p
=
max
{
dim
W
:
W
⊂
V
,
B
(
u
,
u
)
>
0
∀
0
≠
u
∈
W
}
{\displaystyle p=\max\{\dim W\colon W\subset V,\;B(u,u)>0\forall 0\neq u\in W\}}
우선,
B
{\displaystyle B}
는
Span
{
u
1
,
…
,
u
p
}
{\displaystyle \operatorname {Span} \{u_{1},\dots ,u_{p}\}}
에 제한시켰을 때 양의 정부호 형식 이며,
Span
{
u
p
+
1
,
…
,
u
r
}
{\displaystyle \operatorname {Span} \{u_{p+1},\dots ,u_{r}\}}
에 제한시켰을 때 음의 정부호 형식 임은 자명하다.
이제,
B
|
W
×
W
{\displaystyle B|_{W\times W}}
가 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간
W
⊂
V
{\displaystyle W\subset V}
를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
Span
{
u
p
+
1
,
…
,
u
r
}
⊕
rad
B
⊕
W
{\displaystyle \operatorname {Span} \{u_{p+1},\dots ,u_{r}\}\oplus \operatorname {rad} B\oplus W}
이는 만약
u
∈
Span
{
u
p
+
1
,
…
,
u
r
}
{\displaystyle u\in \operatorname {Span} \{u_{p+1},\dots ,u_{r}\}}
이며
v
∈
rad
B
{\displaystyle v\in \operatorname {rad} B}
이며
w
∈
W
{\displaystyle w\in W}
이며
u
+
v
+
w
=
0
{\displaystyle u+v+w=0}
이라면,
B
(
u
,
u
)
≤
0
≤
B
(
w
,
w
)
{\displaystyle B(u,u)\leq 0\leq B(w,w)}
0
=
B
(
u
−
w
,
u
+
v
+
w
)
=
B
(
u
,
u
)
−
B
(
w
,
w
)
{\displaystyle 0=B(u-w,u+v+w)=B(u,u)-B(w,w)}
이므로,
B
(
u
,
u
)
=
B
(
w
,
w
)
=
0
{\displaystyle B(u,u)=B(w,w)=0}
이며,
u
=
w
=
0
=
v
{\displaystyle u=w=0=v}
이기 때문이다. 따라서
p
≥
dim
W
{\displaystyle p\geq \dim W}
이다. 또한
B
|
Span
{
u
1
,
…
,
u
p
}
×
Span
{
u
1
,
…
,
u
p
}
{\displaystyle B|_{\operatorname {Span} \{u_{1},\dots ,u_{p}\}\times \operatorname {Span} \{u_{1},\dots ,u_{p}\}}}
역시 양의 정부호 형식이므로,
p
{\displaystyle p}
는
B
{\displaystyle B}
의 제한이 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간의 최대 차원이며,
p
{\displaystyle p}
는 유일하다.
귀류법 을 사용하여, 두 이차 형식
Q
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
x
1
2
+
⋯
+
x
p
2
−
x
p
+
1
2
−
⋯
−
x
r
2
{\displaystyle Q(x_{1},\dots ,x_{n})=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{r}^{2}}
R
(
y
1
,
…
,
y
n
)
=
y
1
2
+
⋯
+
y
p
′
2
−
y
p
′
+
1
2
−
⋯
−
y
r
2
{\displaystyle R(y_{1},\dots ,y_{n})=y_{1}^{2}+\cdots +y_{p'}^{2}-y_{p'+1}^{2}-\cdots -y_{r}^{2}}
이 서로 동치이며,
p
>
p
′
{\displaystyle p>p'}
라고 가정하자. 또한, 이 둘 사이의 가역 선형 변환이 다음과 같다고 하자.
y
1
=
P
11
x
1
+
⋯
+
P
n
1
x
n
{\displaystyle y_{1}=P_{11}x_{1}+\cdots +P_{n1}x_{n}}
⋮
{\displaystyle \vdots }
y
n
=
P
1
n
x
1
+
⋯
+
P
n
n
x
n
{\displaystyle y_{n}=P_{1n}x_{1}+\cdots +P_{nn}x_{n}}
그렇다면,
p
>
p
′
{\displaystyle p>p'}
이므로, 연립 일차 방정식
0
=
P
11
x
1
+
⋯
+
P
n
1
x
p
{\displaystyle 0=P_{11}x_{1}+\cdots +P_{n1}x_{p}}
⋮
{\displaystyle \vdots }
0
=
P
1
q
x
1
+
⋯
+
P
n
q
x
p
{\displaystyle 0=P_{1q}x_{1}+\cdots +P_{nq}x_{p}}
은 0이 아닌 해
(
x
1
(
0
)
,
…
,
x
p
(
0
)
)
{\displaystyle (x_{1}^{(0)},\dots ,x_{p}^{(0)})}
를 가진다. 이 경우,
0
<
Q
(
x
1
(
0
)
,
…
,
x
p
(
0
)
,
0
,
…
,
0
)
=
R
(
(
x
1
(
0
)
,
…
,
x
p
(
0
)
,
0
,
…
,
0
)
P
)
≤
0
{\displaystyle 0<Q(x_{1}^{(0)},\dots ,x_{p}^{(0)},0,\dots ,0)=R((x_{1}^{(0)},\dots ,x_{p}^{(0)},0,\dots ,0)P)\leq 0}
이며, 이는 모순이다.
반대칭 행렬 [ 편집 ]
표수가 2가 아닌 체
K
{\displaystyle K}
위의 반대칭 행렬
A
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;K)}
는
A
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;K)}
는 몇 개의
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
행렬
(
(
0
,
1
)
,
(
−
1
,
0
)
)
{\displaystyle ((0,1),(-1,0))}
과 하나의 영행렬 의 직합 과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬
P
∈
GL
(
n
;
K
)
{\displaystyle P\in \operatorname {GL} (n;K)}
가 존재한다.[1] :377
P
⊤
A
P
=
(
1
−
1
⋱
⋱
1
−
1
}
2
k
0
⋱
0
)
(
0
≤
2
k
≤
n
)
{\displaystyle P^{\top }AP={\begin{pmatrix}\left.{\begin{matrix}{\begin{matrix}&1\\-1\end{matrix}}\\&\ddots \\&&\ddots \\&&&{\begin{matrix}&1\\-1\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}{\scriptstyle 2k}\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{pmatrix}}\qquad (0\leq 2k\leq n)}
같이 보기 [ 편집 ]
외부 링크 [ 편집 ]