선형대수학 에서 가역 행렬 (可逆行列, 영어 : invertible matrix ) 또는 정칙 행렬 (正則行列, 영어 : regular matrix ) 또는 비특이 행렬 (非特異行列, 영어 : non-singular matrix )은 그와 곱한 결과가 단위 행렬 인 행렬 을 갖는 행렬이다. 이를 그 행렬의 역행렬 (逆行列, 영어 : inverse matrix )이라고 한다.
체
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
역행렬 이라고 하며,
B
{\displaystyle B}
A
−
1
{\displaystyle A^{-1}}
A
B
=
I
n
{\displaystyle AB=I_{n}}
B
A
=
I
n
{\displaystyle BA=I_{n}}
A
B
=
B
A
=
I
n
{\displaystyle AB=BA=I_{n}}
체
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
가역 행렬 이라고 한다.
역행렬을 갖는다.
유일한 역행렬을 갖는다.
유한 개의 기본 행렬 의 곱이다.
단위 행렬 과 행동치 이다.단위 행렬과 열동치 이다.
단위 행렬과 동치 이다.
방정식
A
x
=
0
{\displaystyle Ax=0}
x
=
0
{\displaystyle x=\mathbf {0} }
ker
A
=
{
0
}
{\displaystyle \ker A=\left\{\mathbf {0} \right\}}
방정식
A
x
=
b
{\displaystyle Ax=b}
b
{\displaystyle b}
A
{\displaystyle A}
K
n
{\displaystyle K^{n}}
기저 를 이룬다.
det
A
≠
0
{\displaystyle \det A\neq 0}
det
{\displaystyle \det }
행렬식 이다.)
rank
A
=
n
{\displaystyle \operatorname {rank} A=n}
rank
{\displaystyle \operatorname {rank} }
계수 이다.)
null
A
=
0
{\displaystyle \operatorname {null} A=0}
null
A
:=
dim
ker
A
{\displaystyle \operatorname {null} A:=\dim {\ker A}}
0을 고윳값 으로 가지지 않는다. 전치 행렬과의 관계 [ 편집 ] 체
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
T
{\displaystyle A^{\operatorname {T} }}
A
A
T
{\displaystyle AA^{\operatorname {T} }}
항등식 [ 편집 ] 체
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
k
∈
K
{\displaystyle k\in K}
(
A
−
1
)
−
1
=
A
{\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A}
(
k
A
)
−
1
=
k
−
1
A
−
1
{\displaystyle (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}}
(
A
B
)
−
1
=
B
−
1
A
−
1
{\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}
즉, 체
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
군 을 이루며, 이를 일반선형군
GL
(
n
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)}
자기 반대 동형 을 정의한다.
가우스 소거법 [ 편집 ] 가우스 소거법 은 어떤 행렬이 가역행렬인지를 판단하고 그 행렬의 역행렬을 구할 수 있는 알고리즘 이다. LU 분해 를 이용해 두 개의 삼각행렬로 분해하면 가우스 소거법을 더 빨리 계산할 수 있다. 또는
m
n
×
m
n
{\displaystyle mn\times mn}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
재귀 적으로 계산하면 행렬의 특성에 따라 더 빠른 계산이 가능하다.
수치해석적 방법 [ 편집 ] 행렬의 공통인자 로 이루어진 행렬을 구해 계산하면 작은 크기의 행렬에 대해서는 더 빨리 계산할 수도 있다. (큰 행렬에 대해서는 적당치 않을수있다) 다음과 같이 공통인자 행렬을 구한다.
A
−
1
=
1
|
A
|
(
C
i
j
)
T
=
1
|
A
|
(
C
11
C
21
⋯
C
j
1
C
12
⋱
C
j
2
⋮
⋱
⋮
C
1
i
⋯
⋯
C
j
i
)
{\displaystyle A^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\left(C_{ij}\right)^{T}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{j1}\\C_{12}&\ddots &&C_{j2}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\C_{1i}&\cdots &\cdots &C_{ji}\\\end{pmatrix}}}
i
+
j
{\displaystyle i+j}
C
j
i
=
−
M
j
i
{\displaystyle C_{ji}=-M_{ji}}
i
+
j
{\displaystyle i+j}
C
j
i
=
M
j
i
{\displaystyle C_{ji}=M_{ji}}
C
j
i
=
(
−
1
)
i
+
j
M
j
i
{\displaystyle C_{ji}=(-1)^{i+j}M_{ji}}
여기서
|
A
|
{\displaystyle |A|}
A
{\displaystyle A}
행렬식 을 가리키고
C
i
j
{\displaystyle C_{ij}}
M
i
j
{\displaystyle M_{ij}}
A
T
{\displaystyle A^{T}}
A
{\displaystyle A}
전치행렬 을 가리킨다.
수치 해석 에서 대부분의 경우 선형 시스템 을 풀기 위해 역행렬을 구할 필요는 없기 때문에 이 방법으로 실제로 역행렬을 구하는 경우는 별로 없다.
2 × 2 행렬의 역행렬 [ 편집 ] 위의 공통인자 방정식에서
n
{\displaystyle n}
A
−
1
=
[
a
b
c
d
]
−
1
=
1
a
d
−
b
c
[
d
−
b
−
c
a
]
{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}}
2 × 2 행렬의 역행렬은 위 방법을 통해 빠르게 계산할 수 있다.
3 × 3 행렬의 역행렬 [ 편집 ] 위의 공통인자 방정식에서
n
{\displaystyle n}
A
−
1
=
[
a
b
c
d
e
f
g
h
i
]
−
1
=
1
|
A
|
[
e
i
−
f
h
−
(
b
i
−
c
h
)
b
f
−
c
e
−
(
d
i
−
f
g
)
a
i
−
c
g
−
(
a
f
−
c
d
)
d
h
−
e
g
−
(
a
h
−
b
g
)
a
e
−
b
d
]
=
1
|
A
|
[
e
i
−
f
h
c
h
−
b
i
b
f
−
c
e
f
g
−
d
i
a
i
−
c
g
c
d
−
a
f
d
h
−
e
g
b
g
−
a
h
a
e
−
b
d
]
{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{|A|}}{\begin{bmatrix}ei-fh&-(bi-ch)&bf-ce\\-(di-fg)&ai-cg&-(af-cd)\\dh-eg&-(ah-bg)&ae-bd\end{bmatrix}}={\frac {1}{|A|}}{\begin{bmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{bmatrix}}}
|
A
|
=
a
(
e
i
−
f
h
)
−
b
(
d
i
−
f
g
)
+
c
(
d
h
−
e
g
)
=
−
d
(
b
i
−
c
h
)
+
e
(
a
i
−
c
g
)
−
f
(
a
h
−
b
g
)
=
g
(
b
f
−
c
e
)
−
h
(
a
f
−
c
d
)
+
i
(
a
e
−
b
d
)
{\displaystyle |A|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)=-d(bi-ch)+e(ai-cg)-f(ah-bg)=g(bf-ce)-h(af-cd)+i(ae-bd)\ }
작은 블록으로 나눠서 계산하는 법 [ 편집 ] 다음과 같은 식을 이용하면 행렬을 몇 개의 작은 블록 행렬 로 나누어 계산할 수 있다.
[
A
B
C
D
]
−
1
=
[
A
−
1
+
A
−
1
B
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
C
A
−
1
−
A
−
1
B
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
−
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
C
A
−
1
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}}
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
슈어 보수행렬
(
D
−
C
A
−
1
B
)
{\displaystyle (D-CA^{-1}B)}
슈트라센 알고리즘 의 개발자 포커 슈트라센 이 발견했다.
역행렬의 도함수 [ 편집 ] 행렬
A
{\displaystyle A}
t
{\displaystyle t}
A
{\displaystyle A}
도함수 는 다음과 같다.
d
A
−
1
d
t
=
−
A
−
1
d
A
d
t
A
−
1
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-A^{-1}{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}A^{-1}.}
역행렬과 행렬의 나눗셈 [ 편집 ] 행렬
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
B
=
A
⋅
B
−
1
{\displaystyle {{A} \over {B}}=A\cdot B^{-1}}
A
⋅
B
−
1
≠
B
−
1
⋅
A
{\displaystyle A\cdot B^{-1}\neq B^{-1}\cdot A}
A
B
−
1
=
A
⋅
B
{\displaystyle {{A} \over {B^{-1}}}=A\cdot B}
스칼라 행렬
k
{\displaystyle k}
A
k
=
A
⋅
k
−
1
{\displaystyle {{A} \over {k}}=A\cdot k^{-1}}
A
⋅
k
−
1
=
k
−
1
⋅
A
{\displaystyle A\cdot k^{-1}=k^{-1}\cdot A}
대각화행렬 에서는
임의의 행렬 A를 예약하고 고윳값 행렬 P를 조사하고 P의 역행렬 P-1 를 통해서,
P
−
1
A
P
=
A
D
{\displaystyle P^{-1}AP=A^{D}}
대각화 행렬 AD 를 얻을수있다. 여기서,
A
P
=
A
D
P
−
1
{\displaystyle AP={{A^{D}} \over {P^{-1}}}}
A
P
=
P
A
D
{\displaystyle AP={P}{A^{D}}}
처럼 대각화행렬에서는 역행렬의 나눗셈 성질을 갖는다.
같이 보기 [ 편집 ] 외부 링크 [ 편집 ] 
