QR 분해

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QR 분해(QR decomposition, QR factorization)는 임의의 행렬직교행렬상삼각행렬의 곱으로 분해하는 방법이다. QR 분해는 선형 최소제곱법을 풀 때나 고유벡터를 구할 때 등의 상황에 사용되며, 그람-슈미트 직교정규화 혹은 하우스홀더의 방법 등을 사용한다.

분해 방법[편집]

그람-슈미트 방법[편집]

벡터 일차독립이라 하자. 행렬 에 대해, 그람-슈미트 직교정규화를 사용하면

사영 연산자를 이용해서

와 같이 직교정규기저 를 얻을 수 있다. 이 식을 다시 정리하면

가 되므로,

와 같이 놓으면 이 성립한다.

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하우스홀더 방법[편집]

하우스홀더 리플렉터를 이용하여 한 열씩을 상삼각행렬로 바꾸어감으로써 Q와 R을 구할 수 있다. 이 방법은 Q행렬을 하우스홀더 행렬의 곱으로 구해주기 때문에, 직접 Q를 구할 필요가 없을 때 유용하다. 또, 그람-슈미트 방법과는 달리, 부동소수점 연산에서도 오차가 누적되지 않기 때문에, 실제로 더 많이 활용된다.

함께 보기[편집]