전치행렬

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어떤 행렬의 전치 행렬은 그 행렬을 주대각선을 기준으로 하여 뒤집어 얻을 수 있다. 똑같은 방법으로 한 번 더 뒤집으면 원래 행렬로 돌아온다.

선형대수학에서, 전치 행렬(轉置行列, 영어: transposed matrix)은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. 즉, 주대각선을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬이다. 기호는 , , , , .

정의[편집]

행렬 전치 행렬 은 다음과 같은 행렬이다.

선형 변환 전치 선형 변환(영어: transposed linear map) 은 다음과 같다.

성질[편집]

전치 행렬[편집]

행렬의 전치는 대합 선형 반대 동형이다. 즉, 행렬 및 스칼라 에 대하여,

가 성립하며, 행렬 행렬 에 대하여,

가 성립한다.

서로 전치 행렬의 계수대각합행렬식은 서로 같다.

증명:

특히, 행렬 과 그 전치 행렬의 가역성은 같으며, 이 둘이 가역 행렬일 경우 다음이 성립한다.

행렬 을 반대각선을 축으로 반사하여 얻는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]

전치 선형 변환[편집]

선형 변환 에 대하여, 다음이 성립한다.

증명:

만약 가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 반대로 다음 역시 성립한다.

증명:

만약 라면, 가 존재한다. 임의의 에 대하여,

이므로, 이다. 또한,

이므로, 이다.

만약 가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 의 기저 에 대한 행렬이 이라고 하면, 전치 선형 변환 쌍대 기저 에 대한 행렬은 이다.

증명:

두 기저를 다음과 같이 쓰자.

또한 에 대한 행렬을 , 에 대한 행렬을 이라고 하자. 그렇다면,

이므로, 이다.

[편집]

전치 행렬의 예는 다음과 같다.

  • 여인자 행렬의 전치 행렬은 고전적 수반 행렬이다.

각주[편집]

  1. Golyshev, Vasily; Stienstra, Jan (2007년 1월 31일). “Fuchsian equations of type DN” (영어). arXiv:math/0701936. 

참고 문헌[편집]

  • Hoffman, Kenneth (1971년 4월 1일). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크[편집]