전치행렬

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선형대수학에서, 전치 행렬(轉置行列, 영어: transpose of a matrix)은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. 즉, 주대각선을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬이다. 행렬 의 기호는 , , , .

정의[편집]

행렬 전치 행렬 은 다음과 같은 행렬이다.

즉,

전치 선형 변환[편집]

-선형 변환 전치 선형 변환(영어: transpose of a linear map) 은 다음과 같다.

여기서 , 쌍대 공간이다.

성질[편집]

m × n 행렬 AB가 있을 때 모든 스칼라c 에 대하여 (A + B)T = AT + BT 이고 (cA)T = c (AT)이다. 즉, 치환행렬 연산은 m × n 행렬을 정의역과 치역으로 가지는 선형사상임을 알 수 있다.

치환행렬 연산을 두번 반복하면 원래 행렬이 나온다. (AT)T = A.

Am × n 행렬이고 Bn × m 행렬이면, (AB)T = (BT)(AT)이다. 곱셈의 순서가 바뀌는 것에 주의해야 한다. 이 사실로부터 어떤 행렬 A가 역행렬을 가지려면, AT도 역행렬을 가져야 한다는 것을 알 수 있다. (A-1)T = (AT)-1.

전치 선형 변환[편집]

유한 차원 벡터 공간의 경우, 다음과 같은 성질들이 성립한다.

서로 전치 선형 변환의 은 서로 소멸자다.

서로 전치 선형 변환의 계수는 서로 같다.

전치 선형 변환의 쌍대 기저에 대한 행렬은 원래의 선형 변환의 원래의 기저에 대한 행렬의 전치 행렬이다.

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전치행렬의 예는 다음과 같다.

응용[편집]

열벡터 내적은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]