대각합

선형대수학에서 대각합(對角合, 영어: trace 트레이스^[*], 독일어: Spur 슈푸어^[*])은 정사각 행렬의 주대각선 성분들의 합이다. 기호는 tr 또는 Sp.

정의

$n\times n$ 정사각 행렬 $A$의 대각합 $\operatorname {tr} (A)$는 다음과 같다.

$\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}A_{ii}=A_{11}+A_{22}+\cdots +A_{nn}$

성질

함수로서, 대각합 $\operatorname {tr} \colon \operatorname {Mat} (n;K)\to K$는 선형 범함수이다. 즉, 임의의 $n$차 정사각 행렬 $A$, $B$와 스칼라 $c$에 대하여 다음이 성립한다.

$\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$

$\operatorname {tr} (cA)=c\operatorname {tr} (A)$

서로 전치 행렬의 대각합은 서로 같다. 이는 행렬을 전치했을 때 주대각선 성분이 변하지 않기 때문이다.

$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\operatorname {T} })$

임의의 $m\times n$ 행렬 $A$ 및 $n\times m$ 행렬 $B$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$

증명:

$\operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}(AB)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}B_{ji}A_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(BA)_{jj}=\operatorname {tr} (BA)$

대각합은 닮음 불변량이다. 즉, 서로 닮음 행렬의 대각합은 서로 같다. 즉, 임의의 $n$차 가역 행렬 $P$ 및 $n$차 정사각 행렬 $A$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} (A)$

증명:

$\operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} ((P^{-1}A)P)=\operatorname {tr} (P(P^{-1}A))=\operatorname {tr} (A)$

행렬의 대각합은 (중복도를 고려한) 고윳값들의 합과 같다. 사실 대각합은 행렬의 특성 다항식의 한 계수이다.

$\operatorname {tr} (A)=\sum _{\lambda \in \sigma (A)}\lambda$

참고 문헌

• Jin Ho Kwak, Sungpyo Hong (2004). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Birkhäuser. ISBN 0817642943.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Matrix trace”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.