텐서

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수학과 물리학에서, 텐서(tensor)는 선형 관계를 나타내는 기하적 대상이다. 기본적인 예는 스칼라곱벡터곱, 선형 변환이 있으며 스칼라벡터 또한 해당한다. 텐서는 기저를 선택하여 다차원 배열로 나타낼 수 있으며, 기저를 바꾸는 변환 법칙이 존재한다. 텐서 미적분학에서는 리치 표기법, 아인슈타인 표기법, 펜로즈 표기법, 지표 표기법 등의 다양한 표기법을 사용하여 텐서를 구체적으로 나타낸다.

정의[편집]

벡터 공간 와 그 쌍대 공간 에 대하여 (m, n)형의 텐서는 벡터 공간

의 원소(즉, 수학적 의미의 벡터)로 정의된다. 여기에서 텐서곱 외적의 일반화로 생각하여 대략

와 같은 연산이다.

텐서곱의 유일성[편집]

보편 성질을 가환 그림으로 나타낸 모습.

위의 벡터 공간 에 대하여 쌍선형 변환 는 아래의 보편 성질을 갖는다:

임의의 벡터 공간 에 대하여 임의의 쌍선형 변환 은 선형 변환 유일하게 존재하여 이다.

이 조건으로 텐서곱 이 유일하게 정의되며, 따라서 유한 차원 벡터 공간 에 대하여 텐서의 벡터 공간은 다중선형 공간자연 동형이다:

여기에서 이다.

변환 법칙[편집]

유사텐서3차원 레비치비타 기호를 다차원 배열로 나타낸 모습. 이는 (0, 3)형의 치환 텐서로 대체할 수 있다.

아인슈타인 표기법을 사용하면 (m, n)형의 텐서는 기저 f = (e1, ..., ek)를 선택하여 m+n차원 배열

와 같이 나타낼 수 있다. 다른 기저 를 선택하면 기저 f에 의존하지 않는 변환 법칙

을 적용할 수 있다. 여기에서 m을 이 텐서의 반변 계수(contravariant rank), n을 공변 계수(covariant rank)라 하며 m+n을 총 계수(total rank)라 한다.

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벡터 공간 에 대하여 모든 스칼라와 벡터, 행렬은 텐서이며, 아래와 같이 텐서를 분류할 수 있다. 기저의 선택에 의존하는 위치벡터, 유사텐서 등은 벡터 공간의 단일한 원소가 아니므로 텐서가 아니다. 물리학공학 등에서는 각 점마다 텐서가 하나씩 붙어 있는 공간, 즉 텐서장을 텐서라고 부르기도 한다.

n
0 1 2 3 p
m 0 스칼라 (예 : 스칼라 곡률) 기울기 쌍선형 형식 (예 : 스칼라곱, 계량 텐서), 리치 곡률, 심플렉틱 형식 p-형식 (예 : 부피 형식), 2p중극자 모멘트
1 벡터 (예 : 기하적 벡터) 선형 변환 (예 : 행렬, 크로네커 델타) 벡터곱 리만 곡률 텐서
2 푸아송 구조 탄성 텐서
q q-벡터