텐서

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선형대수학물리학에서, 텐서(tensor)는 선형 관계를 나타내는 미분기하학의 대상이다. 기본적인 예는 스칼라곱선형 변환이 있으며 스칼라벡터 또한 해당한다. 텐서는 기저를 선택하여 다차원 배열로 나타낼 수 있으며, 기저를 바꾸는 변환 법칙이 존재한다. 텐서 미적분학에서는 리치 표기법, 아인슈타인 표기법, 펜로즈 표기법, 지표 표기법 등의 다양한 표기법을 사용하여 텐서를 구체적으로 나타낸다.

물리학에서는 자연현상을 설명하기 위해 거의 필수적으로 좌표계를 도입해서 시간과 공간에 숫자를 부여하고 이 숫자들 간의 관계로 법칙을 설명한다. 물리학의 거의 모든것들이 이런 공간과 시간의 개념이 없이는 설명되기 힘들다는 걸 알 수 있다. 시공간 개념과 아무 관계가 없어보이는 것들 (전하량, 질량 등) 도 곰곰히 생각해보면 그 양이나 효과를 측정하거나 이해하기 위해 시간에 따라 공간을 어떻게 이동하는지, 즉 가속도가 생기는지 위치가 변하는지 등으로 특성을 파악한다는 것을 알 수 있다. 하지만 이러한 좌표계나 단위 (unit: SI 단위계 혹은 cgs 단위계 같은), 척도 (scale) 를 도입하는 방법이 딱 한가지로 정해져 있는 것이 아니다. 물리법칙이란 것은 우리가 어떠한 좌표들을 도입하더라도 바뀌거나 하는 것이 아니기 때문에 도입되는 좌표와 무관하게 물리법칙을 기술할 필요성이 있다. 이처럼 도입된 좌표와 무관하게 유일무이하게 자연현상을 기술하기 위해 도입된 개념이 텐서이다[1].

정의[원본 편집]

벡터 공간 와 그 쌍대 공간 에 대하여 음이 아닌 정수 m, n마다 (m, n)형의 텐서는 벡터 공간

의 원소(즉, 벡터)로 정의된다. 여기에서 텐서곱 외적의 일반화로 생각하여 대략

와 같은 연산이다.

주의[원본 편집]

하나의 벡터 공간이 주어지면 그 쌍대 벡터 공간과 텐서곱 연산이 유일하게 정의된다. (0, 0)형의 텐서인 스칼라를 포함하여, 텐서곱을 반복하여 얻을 수 있는 벡터 공간들의 벡터를 단순히 텐서라고 한다. 따라서 모든 텐서는 어떤 벡터 공간의 스칼라 혹은 벡터이다.

텐서곱의 유일성[원본 편집]

보편 성질을 가환 그림으로 나타낸 모습.

위의 벡터 공간 에 대하여 쌍선형 변환 는 아래의 보편 성질을 갖는다:

임의의 벡터 공간 에 대하여 임의의 쌍선형 변환 은 선형 변환 유일하게 존재하여 이다.

이 조건으로 텐서곱 이 유일하게 정의되며, 따라서 유한 차원 벡터 공간 에 대하여 텐서의 벡터 공간은 다중선형 공간자연 동형이다:

여기에서 이다.

변환 법칙[원본 편집]

유사텐서3차원 레비치비타 기호를 다차원 배열로 나타낸 모습. 이는 (0, 3)형의 치환 텐서로 대체할 수 있고, 이를 통해 벡터곱(1, 2)형의 텐서처럼 다룰 수 있다.

아인슈타인 표기법을 사용하면 (m, n)형의 텐서는 기저 f = (e1, ..., ek)를 선택하여 m+n차원 배열

와 같이 나타낼 수 있다. 다른 기저 를 선택하면 기저 f에 의존하지 않는 변환 법칙

을 적용할 수 있다. 여기에서 m을 이 텐서의 반변 계수(contravariant rank), n을 공변 계수(covariant rank)라 하며 m+n을 총 계수(total rank)라 한다.

주의[원본 편집]

기저의 선택에 의존하는 행렬, 위치벡터, 유사텐서 등은 텐서의 표현 방식이며, 기저의 선택이 없으면 텐서가 아니다. 마찬가지로 위치벡터 또한 기저의 선택이 없으면 벡터가 아니기 때문에, 모든 벡터 공간의 스칼라 혹은 벡터가 어떤 텐서라는 사실은 변하지 않는다.

[원본 편집]

하나의 벡터 공간에서 얻을 수 있는 벡터 공간들의 원소를 아래와 같이 분류할 수 있다. 물리학공학 등에서는 각 점마다 텐서가 하나씩 붙어 있는 공간, 즉 텐서장을 텐서라고 부르기도 한다.

n
0 1 2 3 p
m 0 스칼라 (예 : 스칼라 곡률) 기울기 쌍선형 형식 (예 : 스칼라곱, 계량 텐서), 리치 곡률, 심플렉틱 형식 p-형식 (예 : 부피 형식), 2p중극자 모멘트
1 벡터 (예 : 1-벡터) 선형 변환 (예 : 크로네커 델타) 리만 곡률 텐서
2 푸아송 구조 탄성 텐서
q q-벡터