다중극 전개

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수학물리학에서, 다중극 전개(多重極展開, multipole expansion)는 어떤 물체의 퍼텐셜이나 장을 그 세기에 따라 홀극, 쌍극, 사중극, 팔중극 따위로 전개한 것이다. 전자기학이나 일반 상대성 이론 등에서 쓰인다.

정의[편집]

어떤 부피 가 생성하는 퍼텐셜 가 다음과 같이 거리에 반비례한다고 하자.

그렇다면 안에 임의의 "중심" 을 잡아, 를 다음과 같이 전개하는 것을 생각할 수 있다.

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여기서 항을 홀극(-極, monopole), 항을 쌍극(雙極, dipole), 항을 사중극(四重極, quadrupole), 항을 팔중극(八重極, octupole), 일반적으로 항을 중극이라고 부른다. 이렇게 전개하는 것을 다중극 전개라고 한다.

다중극 전개의 항은 다음과 같이 계산할 수 있다. 거리의 역수는 다음과 같이 르장드르 다항식 생성 함수이다.

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여기서

사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같다.

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일반적으로 는 다음과 같이 텐서로 쓸 수 있다.

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즉, 편의상

로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다.

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여기서 차 텐서 중극자 모멘트라고 부른다.

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]