르장드르 다항식

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르장드르 다항식(Legendre polynomial) P_n(x)르장드르 미분 방정식(Legendre differential equation)이라고 불리는 다음 미분 방정식의 해가 되는 함수들이다.

(1-x^2) {d^2 \over dx^2} P(x) - 2x {d \over dx}P(x) + n(n+1)P(x) = 0

스튀름-리우빌 형식으로 쓰면,

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0

이다. 이 함수와 미분 방정식의 이름은 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르의 이름을 따 명명되었다. 이 상미분 방정식은 물리와 공학의 여러 분야에서 자주 등장한다. 특히, 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 등장한다.

르장드르 다항식[편집]

구체적인 몇몇 르장드르 다항식의 형태는 다음과 같다.

n P_n(x)
0 1
1 x
2 \frac12(3x^2-1)
3 \frac12(5x^3-3x)
4 \frac18(35x^4-30x^2+3)
5 \frac18(63x^5-70x^3+15x)
6 \frac1{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)
7 \frac1{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)
8 \frac1{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)
9 \frac1{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)
10 \frac1{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)

n = 1,2,3,4,5인 경우의 구간 [-1,1]사이에서의 르장드르 다항식의 그래프는 다음과 같다.

Legendre poly.svg

성질[편집]

간단한 성질[편집]

르장드르 다항식에는 다음과 같은 몇몇 간단한 성질이 있다.

  • P_n(-x) = (-1)^n P_n(x)
  • P_n(1) = 1
  • P_n(-1) = (-1)^n
  • P'_n(1) = \frac{k(k+1)}{2}
  • n이 홀수이면 P_n(0) = 0
  • n이 짝수이면 P'_n(0) = 0

수직 관계[편집]

르장드르 다항식 끼리 구간 [-1,1] 에서 L^2 내적을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

\left( P_n , P_m \right) = \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = \frac 2{2n + 1} \delta_{mn}.

여기서 \delta_{mn}크로네커 델타를 의미한다. 따라서, 르장드르 다항식은 구간 [-1,1]에서 서로 수직함을 알 수 있다. 이는 르장드르 방정식이 스튀름-리우빌 문제에 속하기 때문이다. 즉, 르장드르 미분 방정식을 다음과 같이 스튀름-리우빌 형식으로 놓을 수 있다.

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + \lambda P(x) = 0

여기서 고유값 \lambda = n(n+1)이다. 스튀름-리우빌 문제의 해의 집합은 일반적으로 함수 공간의 정규직교기저(orthonormal basis)를 이루므로, 르장드르 다항식도 마찬가지로 직교 기저를 이룬다. (다만, 통상적으로 그 노름이 1이 아니게 정의한다.)

르장드르 다항식의 계산 및 표현[편집]

르장드르 다항식은 점화식이나 선적분, 생성 함수 등 여러 방법으로 표현할 수 있다.

로드리게스 공식[편집]

로드리게스 공식(Rodrigues' formula)은 르장드르 다항식의 일반식이며, 다음과 같다.

P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].

점화식[편집]

르장드르 다항식은 다음과 같은 점화식을 만족한다.

(k+1)P_{k+1} (x) - (2k+1) x P_k (x) + k P_{k-1} (x) = 0 \;

생성 함수[편집]

르장드르 다항식은 다음과 같은 생성 함수를 가진다.

\frac1{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^\infty P_n(x)t^n.

선적분을 통한 표현[편집]

르장드르 다항식은 유수적분을 통해 다음과 같은 적분 형태로 표현될 수 있다.

P_n(z)={1 \over2\pi i} \oint (1-2tz+t^2)^{-1\over 2}t^{-(n+1)}dt

여기서 적분 경로는 원점을 중심으로 하는 임의의 반시계방향의 폐곡선이다.