점화식

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수학에서 점화식(또는 재귀식)(Recurrence relation)이란 수열의 항 사이에서 성립하는 관계식을 말한다. 즉, 수열 {a_n} 의 각 항 a_n 이 함수 f 를 이용해서

a_{n+1} = f(a_1 , a_2 , .... , a_n )

처럼 귀납적으로 정해져 있을 때, 함수 f 를 수열 {a_n} 의 점화식이라고 하며, 또한, 수열 {a_n} 은 점화식 f 로 정의된다고 한다.

점화식을 푼다는 것은 귀납적으로 주어진 수열 {a_n} 의 일반항 a_n 을 n 의 명시적인 식(explicit formula)으로 나타내는 것을 말한다.

인접 2항간 점화식[편집]

수열 {an} 이 점화식에 의해서 정의되고 점화식이 변수가 하나인 함수 f 에 의해서

an+1 = f(an)

로 나타내지고 있을 때, 이 점화식은 인접 2항간의 점화식이라고 한다.

인접 2항간 선형 점화식[편집]

인접 2항간 점화식중 f 가 일차식

an+1 = p(n) · an + q(n) (p, qn 의 함수)

일 때, 선형이라고 한다.

계수가 모두 상수인 경우[편집]

계수 p, q가 상수인 2항간 점화식, 즉,

an+1 = p · an + q (p, q 는 n 에 관계하지 않는 상수)

라면, 이 점화식은 다음과 같이 해서 등차 수열 혹은 등비수열에 귀착되어 일반항 n 의 식으로 명시적으로 기술할 수 있다.:

p = 1 일 때, 점화식은 an+1 = an + q 이며, 이것은 등차수열을 나타낸다.

p ≠ 1 일 때, 점화식 an+1 = p · an + q 의 특성방정식이라 불리는 x = px + q 의 근을 α 라고 하면, 점화식은

an+1 - α = p (an - α)

으로 변형할 수 있다. 이것은 일반항이 bn = an - α 로 정의되는 수열{bn} 이 공비가 p 인 등비수열이 된다는 뜻이 되며, bnn 의 식으로 쓸 수 있다. 다시, an = bn + α 이므로, 이것도 n 의 식으로 표현이 가능하다.

예 : 하노이의 탑[편집]

유명한 하노이의 탑(Tower of Hanoi) 문제가 있다. n 개의 원판을 이동하는 회수를 수열 a_n으로 정의하자. n 개의 원판을 이동시키기 위해서는 그 위쪽 n-1개의 원판을 다른 막대로 이동한 후, 맨 아래쪽 원판을 이동하고 다시 n-1개의 원판을 이동해야 하므로 다음과 같은 점화식이 성립함을 알 수 있다.

a_n = 2a_{n-1} + 1

선형 점화식이므로 간단하게 일반항이 2^n -1임을 알 수 있다.

등차수열·등비수열의 점화식[편집]

등차수열이나 등비수열은 인접 2항간 점화식의 매우 특수한 형태이며, 그 정의에 의해 매우 단순한 점화식을 가진다. 즉,

an+1 = an + d (d 는 상수)

와 같이 된다. 이 등차수열의 점화식에서 상수 d가 공차(공통적인 차이)이다. 이 점화식을 풀면 일반항의 식은 an = a1 + (n - 1)d 이 된다. 마찬가지로

an+1 = r · an (r 는 상수)

이 등비수열의 점화식이며,상수 r 이 공비(공통적인 비율)이다. 이 점화식을 풀면 an = rn-1 · a1 이란 일반항을 얻을 수 있다.

계수가 상수가 아닌 경우[편집]

이러한 경우 적절한 변형을 통해 해결이 가능한 형태로 변형해주는 작업이 필요하다. 몇몇 특수한 경우에 풀이법이 잘 알려져 있다.

p(n) = 1 인 경우[편집]

이 경우 계차수열(인접한 두 항의 차로 이루어진 수열)이 q(n)이라는 일반항을 알고 있는 상태가 된다. 따라서 그 합을 구하면 즉시 일반항을 알 수 있게 된다. 점화식에 1 부터 n 까지 차례로 대입하여 다음 식들을 구성한다.

a_2 - a_1 = q(1)
a_3 - a_2 = q(2)
\vdots
a_{n} - a_{n-1} = q(n-1)

이므로 변변 모두 더하면 다음과 같은 일반항을 구할 수 있다.

a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} q(k)
q(n) = 0 인 경우[편집]

이 경우 p(n) = 1인 경우와 마찬가지로 점화식에 1 부터 n 까지 차례로 대입하여 변변 곱하면 다음과 같은 일반항을 구할 수 있다.

a_n = a_1 \prod_{k=1}^{n-1} p(k)
p(n)만 상수인 경우[편집]
a_{n+1} = p a_n + q(n)

점화식이 위와 같은 경우 양변을 p^{n+1}으로 나누면 다음과 같이 식을 바꿀 수 있다.

\frac{a_{n+1}}{p^{n+1}} = \frac{a_n}{p^n} + \frac{q(n)}{p^{n+1}}

그러면 일반항이 \frac{a_n}{p^n}인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다. 계차수열 \frac{q(n)}{p^{n+1}}의 합을 이용하여 일반항을 구한다.

p(n) = (n+1)/n 인 경우[편집]
n a_{n+1} = (n+1) a_n + q(n)

점화식이 위와 같은 경우 양변을 n(n+1)으로 나누면 일반항이 a_n / n인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다.

p(n) = n 인 경우[편집]
a_{n+1} = n a_n + q(n)

점화식이 위와 같은 경우 양변을 n!으로 나누면, 일반항이 a_n / (n-1)!인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다.

인접 3항간 점화식[편집]

수열 {an} 이 점화식에 의해서 정해지며, 점화식이 2 변수 함수 f 에 의해서

an+2 = f(an+1, an)

로 표현될 때, 이 점화식은 인접3항간의 점화식이라고 한다.

인접 3항간 선형 점화식[편집]

인접 3항간 점화식 중 f 가 일차식

a_{n+2} = p(n) a_{n+1} + q(n) a_n + r(n)p, q, rn 의 함수)

일 경우 선형이라고 한다.

r(n) = 0 이고 계수가 모두 상수인 경우[편집]

상수 계수 선형 인접 3항간 점화식이 다음과 같다고 하자.

a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_np, qn 에 무관한 상수)

이 경우, 특성 방정식(characteristic equation) x2 = px + q 의 근을 이용해 풀 수 있다.

즉, 특성 방정식 x^2 = px + q의 두 해를 \alpha, \beta라고 하면, 일반항이 a_n = C_1 \alpha^n + C_2 \beta^n인 수열은 주어진 점화식을 만족하게 된다. 따라서 초항의 값에 따라 미정계수 C_1, C_2를 결정하면 된다.

이차 방정식의 두 해가 중근이 될 경우 일반항을 a_n = C_1 \alpha^n + C_2 n \alpha^n로 두면 마찬가지로 주어진 점화식을 만족하게 된다. 이는 마치 상수계수만을 가진 2계도 선형 미분방정식의 풀이를 연상하게 한다. (본질적으로 동일한 매커니즘이다.)

예 : 피보나치 수열[편집]

피보나치 수(Fibonacci numbers)의 경우 초기값 F_1 = 1, F_2 = 1과 다음과 같은 선형 인접 3항간 점화식으로 정의되어 있다.

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

이차 방정식 x^2 = x + 1의 두 해는 \frac{1+\sqrt{5}}{2} , \frac{1-\sqrt{5}}{2}이므로 초항의 값을 대입하면 다음과 같은 일반항을 얻는다.

F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}

계수가 상수가 아닌 경우[편집]

계수가 상수가 아닌 경우에는 각각의 점화식에 따라 다양한 기법을 적용해야 한다. 양변을 적절한 수로 나누는 등의 시도를 해 볼 수 있다.

예 : 완전순열[편집]

완전순열 혹은 교란순열(Derangement)이라 불리는 수열의 점화식은 다음과 같다.

d_n = (n-1)(d_{n-1} + d_{n-2})

이 식은 다음과 같이 변형된다.

d_n - n d_{n-1} = -\{d_{n-1} - (n-1)d_{n-2}\}

그러므로 d_n - n d_{n-1}을 새로운 수열 a_n으로 정의하면, 다음과 같은 점화식이 된다.

a_n = -a_{n-1}

a_n의 일반항은 즉시 나오므로 다음과 같이 인접 3항간 점화식이 인접 2항간 점화식으로 변형된다.

d_n = n d_{n-1} + (-1)^n

이 경우 위에서 다룬 인접 2항간 점화식에서 p(n) = n인 꼴이 된다. 양변을 n!으로 나누면, 일반항이 d_n / (n-1)!인 수열의 일반항을 알 수 있고 이로써 d_n의 일반항도 쉽게 유도된다.

p = q - 1의 형태인 경우[편집]

p = q - 1인 경우는 특성방정식을 푸는 번거로운 과정없이 쉽게 답을 구할 수 있다. 점화식은 다음과 같이 변형된다.

a_{n+2} - a_{n+1} = q(a_{n+1} - a_n)

그러므로 그 계차수열이 공비가 q 인 등비수열임을 확인할 수 있다. 계차수열의 일반항을 구해 그것으로부터 즉시 a_n의 일반항을 이끌어낼 수 있다.

상수계수의 선형 점화식[편집]

점화식의 계수가 모두 상수인 선형 점화식

a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2}+\cdots+c_da_{n-d}

의 경우 다음과 같은 특성 방정식의 해를 구하여 일반항을 구한다.

x^d = c_1 x^{d-1} + \cdots + c_{d-1}x^1 + c_d

선형대수학을 이용한 해법[편집]

다항 방정식을 이용한 풀이법도 있지만 선형대수학을 이용할 수도 있다. 다음과 같이 수열의 초기항을 고유기저(eigenbasis)로 표현했다고 하자.

\begin{bmatrix}a_0\\
\vdots\\
a_{d-1}\end{bmatrix} = b_1v_1 + \cdots + b_dv_d

이 경우 조르당 표준형(Jordan normal form)을 이용하여 일반항을 구할 수 있다.

\begin{bmatrix}a_n\\
\vdots\\
a_{n+(d-1)}\end{bmatrix}
= C^n\begin{bmatrix}a_0\\
\vdots\\
a_{d-1}\end{bmatrix}
= C^n(b_1v_1 + \cdots + b_dv_d)
= \lambda_1^nb_1v_1 + \cdots + \lambda_d^n b_dv_d

만약 행렬이 대각화(diagonalizable)되지 않으면 해법은 좀 더 복잡하게 된다.

예 : 피보나치 수의 선형대수학을 이용한 해법[편집]

피보나치 수의 점화식을 행렬로 표현하면 다음과 같이 된다.

\begin{bmatrix}F_{n+1}\\
F_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&1\\
1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_{n}\\
F_{n-1}\end{bmatrix}

그러므로 일반항은 다음과 같이 된다.

\begin{bmatrix}F_{n+1}\\
F_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&1\\
1&0\end{bmatrix}^{n-1} \begin{bmatrix}F_{2}\\
F_{1}\end{bmatrix}

이 행렬은 다음과 같이 대각화 된다. 특성방정식의 x^2 - x - 1 =0의 두 해를 \alpha, \beta라고 두면, 이 두 값이 고유값(eigenvalue)이므로

\begin{bmatrix}1&1\\
1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\alpha & \beta\\
1&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\alpha & 0\\
0&\beta\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\alpha & \beta\\
1&1\end{bmatrix}^{-1}

그러므로 일반항은 다음과 같이 정리되며 다항방정식을 이용한 풀이와 동일한 일반항을 얻을 수 있다.

\begin{bmatrix}F_{n+1}\\
F_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&1\\
1&0\end{bmatrix}^{n-1} \begin{bmatrix}F_{2}\\
F_{1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\alpha & \beta\\
1&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\alpha^{n-1} & 0\\
0&\beta^{n-1}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\alpha & \beta\\
1&1\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}F_{2}\\
F_{1}\end{bmatrix}

Z 변환을 이용한 해법[편집]

Z 변환 페이지 참조.

수열의 합을 포함하는 경우[편집]

점화식 내에 그 수열의 합이 들어있는 경우, 적절한 변형을 하여 인접한 몇 개의 항을 포함하는 점화식으로 바꾸어 준다. 예를 들어,

a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = f(n)a_n

점화식이 위와 같이 주어진 경우, 다음과 같이 인접 2항간의 점화식으로 변형한다.

f(n-1)a_{n-1} + a_n = f(n)a_n

수열 {a_n}의 n째 항까지의 총합이 S_n인 경우, S_n - S_{n-1} = a_n임을 활용하여 인접 2항간의 점화식으로 변형가능한 것도 있다.

몇몇 간단한 비선형의 경우[편집]

비선형의 경우 일반적인 풀이법은 없다. 그러나 몇몇 간단하게 해결되는 경우가 알려져 있다.

예1 : 역수에 주목[편집]

p a_n a_{n+1} = q a_n - r a_{n+1}

점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변을 a_n a_{n+1}으로 나누면 수열 {1/a_n}이 선형 점화식이 됨을 알 수 있다. 이 선형 점화식의 일반항을 구하여 해결한다.

예2 : 로그를 취하여 해결가능한 경우[편집]

a_{n+1} = 4a_n^2

점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 \log a_{n+1} = 2 \log a_n + 2와 같이 변형되어 수열 {\log a_n}이 선형 점화식을 가짐을 알 수 있다. 따라서 선형 점화식을 풀면 쉽게 해결할 수 있다.

예3 : 점화식의 역수를 취해 해결가능한 경우[편집]

a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}

점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변의 역수를 취하면 수열 {1/a_n}이 선형 점화식을 가짐을 알 수 있다. 이 점화식을 풀면 쉽게 일반항을 구할 수 있다.

예4 : 십진법에 기초한 점화식[편집]

십진법에 기초하여 정의된 수열의 경우 쉽게 일반항을 구할 수 있는 경우가 있다. 예를 들어, 4가 이전의 항에서 하나씩 늘어가는 방법으로 정의된 수열이 있다고 하자. 즉,

4, 44, 444, 4444, 44444, .....

이 경우 일반항은 다음과 같다.

\frac{4}{9}(10^n - 1)

기수법이 다른 경우도 마찬가지 방법을 쓸 수 있다.

예5 : 주기형의 경우[편집]

a_{n+1} = - \frac{1}{a_n + 1}, \;a_n \ne -1

점화식이 위와 같이 주어진 경우, n에 대한 식으로 표현하기 어렵다. 그러나 몇몇 값을 대입해보면 이 수열은 주기적으로 같은 값이 반복됨을 알 수 있다. 즉, a, -\frac{1}{a+1}, -\frac{a+1}{a} 이 세 수가 반복되어 나타난다.


생성함수를 이용한 해법[편집]

생성함수(generating function)를 이용하여 수열의 일반항을 찾는 것이 가능한 경우가 있다.

예 1[편집]

a_1 = 0이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자.

a_{n+1} = 2a_n + 1

이 수열을 계수로 갖는 다항식 A(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n은 다음 등식을 만족해야 한다.

\frac{A(x)}{x} = 2A(x) + \sum_{n=1}^{\infty} x^n = 2A(x) + \frac{x}{1-x}

그러므로 A(x)를 구할 수 있고 이를 다시 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다.

A(x) = \frac{x}{(1-x)(1-2x)} = x\left(\frac{2}{1-2x} - \frac{1}{1-x}\right) = \sum (2^n -1)x^n

예 2[편집]

a_0 = 1이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자.

a_{n+1} = 2a_n + n

그런데 \frac{d}{dx}\sum x^n = \sum nx^{n-1} 이라는 사실을 이용하여 \sum nx^{n-1} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \frac{1}{(1-x)^2}임을 알 수 있으므로, 이 수열을 계수로 갖는 다항식 A(x)은 다음 등식을 만족해야 함을 알 수 있다.

\frac{A(x)-1}{x} = 2A(x) + \frac{x}{(1-x)^2}

마찬가지로 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다.

A(x) = \frac{1-2x+2x^2}{(1-x)^2 (1-2x)} = \frac{-1}{(1-x)^2} + \frac{2}{1-2x} = \sum (2^{n+1} -n -1)x^n

예 3 : 피보나치 수열의 생성함수를 이용한 해법[편집]

n번째 피보나치 수를 계수로 갖는 다항식 F(x)는 정의에 의해 다음을 만족해야 함을 즉시 알 수 있다.

\frac{F(x)-x}{x} = F(x) + xF(x)

그러므로 다음을 얻는다.

F(x) = \frac{x}{1-x-x^2}

방정식 1-x-x^2 =0의 두 근을 r_1 , r_2라고 하면 다음과 같이 부분분수로 분해된다.

F(x) = \frac{1}{r_1 - r_2} \left(\frac{1}{1-xr_1} - \frac{1}{1-xr_2}\right)

이것을 무한급수로 표현하면 일반항을 얻을 수 있다.

같이 보기[편집]