수열

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실수의 무한수열

수열(數列, sequence of numbers)은 차례로 수를 나열한 것을 의미한다.[1]

수열의 항[편집]

수열을 이루는 각각의 수를 수열의 또는 원소, 이라고 한다. 수열의 항을 앞에서부터 차례로 나열할 때 앞에서부터 n번째에 오는 항을 제n항이라고 하며, 이를 기호로 a_n과 같이 나타난다. 제n항에서 n에 자연수를 대입하여 a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, ...와 같이 표기하며, 차례로 제1항, 제2항, 제3항, 제4항, 제5항, ...과 같이 지칭한다. 특히 제1항 a_1는 첫째항 또는 초항이라고도 한다.

수열에서 제n항 a_n은 n에 대한 식 f(n)과 같이 나타내어지는데, 이를 수열의 일반항이라고 한다. n에 대입하는 자연수의 값에 따라 구해지는 모든 항의 값을 일반적으로 나타낸 것이기 때문이다. 다시 말해 일반항 a_n은 수열의 모든 항을 하나로 일반화한 것으로, 수열의 모든 항을 대표한다고 할 수 있다. 따라서 수열을 간단한 기호로 나타낼 때에는 집합의 조건제시법과 유사하게, { a_n }으로 나타낸다.

수열의 일반항이 a_n=f(n)의 꼴로 나타내어지므로 이를 함수와 관련지을 때, 정의역자연수의 집합이고 공역실수의 집합인 함수 f에 대하여, 자연수 n의 값과 이에 따른 함숫값 f(n)의 대응을 생각할 수 있다. 즉, n = 1, 2, 3, 4, ...를 차례대로 이 함수에 대입하여 얻은 함숫값들을 차례대로 나열하면 f(1), f(2), f(3), f(4), ...인데, f(n)=a_n이므로 이는 a_1, a_2, a_3, a_4,...의 수열과 동일하다. 때문에 일반항 a_n이 자연수 n에 대한 식 f(n)으로 나타내어지면, 수열 {a_n}의 모든 항들을 나타낼 수 있는 것이다.

한 수열에서 항의 수를 수열의 길이라고 하며, 이는 유한할 수도 있고 무한할 수도 있다. 항의 수가 유한한 수열을 유한수열, 항의 수가 무한한 수열을 무한수열이라고 한다. 유한수열에서는 항을 차례로 나열할 때 맨 마지막 항이 존재하는데, 이 항을 끝항이라고 한다.

수열의 각 항은 순서에 따라 구분되므로 (1, 2, 3)과 (1, 3, 2)는 엄연히 서로 다른 수열이며, 집합의 경우와 달리 (1, 1, 2)처럼 하나의 수가 두 항에 동시에 등장할 수도 있다.

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  • 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... : 각 항 간의 차가 일정한 등차수열이다.
  • 3, 9, 27, 81, 243, ... : 각 항 간의 비가 일정한 등비수열이다.
  • 1, 4, 10, 19, 31, ... : 계차수열이 등차수열인 수열이다.
  • 5, 9, 25, 89, 345, ... : 계차수열이 등비수열인 수열이다.
  • 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... : 피보나치 수열이다.
  • 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, ... : a_n = (7^n의 일의 자리의 숫자)로 정의되는 수열이다.
  • 3, 7, 6, 5, -1, ... : 규칙이 전혀 없는 수열이다.
  • 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... : 삼각수 수열이다.
  • 1, 4, 9, 16, 25, 49, 64, ... : 사각수 수열이다.
  • 0, 0, 0, 0, 120, 720, 2520, ... : a_n = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)로 정의되는 수열이다.

수열의 합[편집]

수열 {a_n}의 제 1항부터 제 n항까지의 합 a_1+a_2+a_3+...+a_n은 편의상 기호  \sum_{} 를 이용하여

 \sum_{k=1}^n a_k 와 같이 나타낸다.

여기서,  \sum_{k=1}^n a_k 의 의미는 '일반항이  a_k 인 수열의 제 1항부터 제 n항까지의 합'이다.

시그마 \sum_{} 의 성질[편집]

시그마 \sum_{} 는 다음과 같은 성질을 가지고 있다. 이 성질은 수열의 합을 구하는 과정에서 자주 쓰인다.

  1.  \sum_{k=1}^n (a_k+b_k) =  \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k
  2.  \sum_{k=1}^n (a_k-b_k) =  \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n b_k
  3.  \sum_{k=1}^n ca_k = c \sum_{k=1}^n a_k
  4.  \sum_{k=1}^n c =  nc
  5.  \sum_{k=m}^n a_k =  \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^{m-1} a_k 단, (m < n)

한편, 수열의 일반항이  a_k= \frac{1}{f(k)g(k)} 와 같이 분수꼴로 표현될 때에는, 이항분리  \frac{1}{FG}= ( \frac{1}{G-F} )( \frac{1}{F}-\frac{1}{G} ) 의 성질을 이용하여 수열의 일반항을 변형시키고, 이를 통해 수열의 소거 규칙성을 찾아내어 일반항을 간단화하여 정리하기도한다.

자연수의 거듭제곱의 합[편집]

자연수의 거듭제곱의 합은 다음과 같이 공식화할 수 있다. 이들도 수열의 합을 구하는 데 자주 쓰인다.

  1.  1+2+3+...+n = \sum_{k=1}^n k =  \frac{n(n+1)}{2}
  2.  1^2+2^2+3^2+...+n^2 = \sum_{k=1}^n k^2 =  \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  3.  1^3+2^3+3^3+...+n^3 = \sum_{k=1}^n k^3 =  (\frac{n(n+1)}{2})^2

수열을 정의하는 방법[편집]

일반항을 통한 정의[편집]

일반적으로 수열은 일반항을 통하여 정의된다. 이는 일반항 자체가 {a_n}과 같이 수열을 간단히 기호로 나타내기 위해 도입된 것이며, 일반항에서 n에 임의의 자연수를 대입하여 손쉽게 항의 값을 구할 수 있기 때문이다. 즉 수학적 간편성을 위하여 일반항으로 나타내는 것이다.

이를테면,  a_n=3*7^{2n-1}인 수열 {a_n}에 대하여, 일반항  a_n 은 n에 대한 식 f(n)으로 표현됨으로써 정의되는 것이다.

귀납적 정의[편집]

수열을 항과 항 사이의 관계식을 통하여 표현한 것을 수열의 귀납적 정의라고 한다.

여기서 귀납이란 서로 관련있는 참인 명제들을 통하여 일반적인 진리를 이끌어내는 추론 방법이다. 이를테면, 5개의 참인 명제들  a_1=1  a_2=3 ,  a_3=5 ,  a_4=7 ,  a_5=9 가 있을 때, 이들 사이에는 문자 a의 첨자가 1씩 증가함에 따라 그 값이 2씩 증가한다는 공통된 성질이 존재한다. 그러므로  a_6 또한 이런 성질에 적용받을 것이므로, 그 값이 11이라고 추론하는 것이 귀납이다. 더 나아가 문자 a의 첨자를 임의의 자연수 n으로 정할 때,  a_n 은 위에서 발견한 성질에 절대적으로 적용을 받을 것이므로  a_n=2n-1 (n=1,2,3,4, ... ) 이라고 추론하는 것도 귀납이다.

이렇게 주어진 참인 명제들을 귀납을 통해서 적절히 활용하면, 참인 명제들을 아우르는 일반적인 사실을 도출해낼 수 있다. 수열에서도 마찬가지로, 주어진 항들과 항들간의 관계식을 귀납을 통해서 적절히 활용하면, 주어진 항들과 관계식을 아우르는 수열을 알아낼 수가 있다. 다르게 생각하면, 항들과 항들간의 관계식을 통해서 수열을 표현할 수도 있는 것이다.

수열의 수렴과 발산[편집]

수열 {a_n}에서 n이 한없이 커질때, 그 일반항 a_n이 어떤 상수 c에 한없이 가까워지는 경우를 수열 {a_n}이 c에 수렴한다라 하고, 이때의 c수열 {a_n}의 극한 또는 극한값이라 한다. 이때 수열 {a_n}이 c에 수렴한다를 기호로 \lim_{n \to \infty}a_n = c와 같이 나타낸다.

수열 {a_n}이 수렴하지 않는 경우를 수열 {a_n}이 발산한다고 한다. 수열이 발산하는 경우는 크게 다음과 같이 양의 무한대로 발산, 음의 무한대로 발산, 진동하며 발산하는 경우로 나뉜다.

  1. \lim_{n \to \infty}a_n = \infty (양의 무한대로 발산)
  2. \lim_{n \to \infty}a_n = -\infty (음의 무한대로 발산)
  3. 진동하며 발산 (일반항의 절댓값이 작아지지 않은채로 양의 부호와 음의 부호가 교대로 반복)

같이 보기[편집]

도움되는 자료[편집]