디리클레 급수

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디리클레 급수(Dirichlet series)는 복소수 s, 복소 수열 \{a_n\}에 대하여

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}

로 정의되는 급수이다. 디리클레 급수는 해석적 수론(analytic number theory)에서 중요한 위치를 차지하며, 많은 중요한 함수가 디리클레 급수의 형태로 정의되어 있다.

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리만 제타 함수는 디리클레 급수의 한 예로, 다음과 같이 정의된다.

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

리만 제타 함수의 역수는 다음의 디리클레 급수로 표현할 수 있다.

\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}

여기서 \mu(n)뫼비우스 함수이다. 또한, 제타함수의 로그는 다음과 같이 표현할 수 있다.

\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}

여기서 \Lambda(n)망골트 함수(Mangoldt function)이다. 또한, 제타함수의 로그도함수(Logarithmic derivative)를 디리클레 급수로 표현하면 다음과 같다.

\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.

미분[편집]

다음과 같이 주어진 디리클레 급수가 있다고 하자.

F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

이 경우 디리클레 급수의 미분은 다음과 같이 표현된다.

F'(s) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\log(n)}{n^s}

이 결과를 리만 제타 함수에 적용하면 다음과 같이 된다. 실수부가 1보다 클 때, 리만 제타 함수의 정의는 디리클레 급수로 표현된다. 따라서 그 미분을 디리클레 급수로 표현하면 다음과 같다.

\zeta'(s) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}

여기서 제타함수의 로그도함수를 계산하기 위해서 산술의 기본정리에 의해 즉시 도출되는 다음 등식을 활용한다.

\sum_{d|n}\Lambda(d) = \log n

물론 여기서 \Lambda(n)은 망골트 함수이다. 결국 두 급수를 곱해주면 다음 등식이 성립한다.

\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.

이 식은 소수 정리를 증명하는 과정에서 쓰인다.[1]

관련 항목[편집]

주석[편집]

  1. Apostol, Tom (1998). 《Introduction to Analytic Number Theory》. Springer, 236쪽. ISBN 978-0-387-90163-3