오일러의 곱셈 공식

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오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)은 모든 소수에 대한 디리클레 급수(Dirichlet series)를 무한곱으로 표현한 것이다. 리만 제타 함수의 경우를 증명한 오일러의 이름을 딴 것으로 오일러 곱(Euler product)이라고도 한다.

일반적으로, 다음과 같은 형태의 디리클레 급수가 있다고 하자.

\sum_{n} a(n)n^{-s}\,

여기서 a(n)곱셈적 함수(multiplicative function)이다. 이 급수는 다음과 같이 쓰일 수 있다.

\prod_{p} P(p,s)\,

여기서 P(p,s)는 다음 급수가 된다.

1+a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \cdots .

이는 산술의 기본 정리 때문에 성립하는 것이다. 특히, a(n)이 완전 곱셈적(totally multiplicative)일 경우 P(p,s)무한등비급수(geometric series)가 되므로 다음 등식이 성립하게 된다.

P(p,s)=\frac{1}{1-a(p)p^{-s}}

리만 제타 함수의 경우 a(n) = 1이 된다.

[편집]

레온하르트 오일러바젤 문제를 해결하면서 리만 제타 함수가 오일러 곱과 등치함을 증명하였다. 오일러의 곱셈 공식은 1737년 상트페테르부르크 학술원에서 출판된 그의 논문 〈무한 급수의 다양한 관찰〉(라틴어: Variae observationes circa series infinitas)에 수록되었다.[1] 오일러가 증명한 리만 제타 함수의 무한곱이 가장 유명하므로 제타함수의 무한곱을 오일러 곱이라 지칭하는 경우도 많다.

오일러의 증명[편집]

오일러의 증명은 다음과 같다.[2] [3] 1 보다 큰 임의의 수 s에 대한 리만 제타 함수는 다음과 같다.

식 1.

\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots

양변에 \frac{1}{2^{s}}를 곱하면 a^{s} \cdot b^{s}=(a \cdot b)^{s}이 되는 지수의 법칙에 의해

식 2.

\frac{1}{2^{s}}\zeta(s) = \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots

식 1에서 식 2를 빼면 좌변은 \zeta(s)-\frac{1}{2^{s}} \cdot \zeta(s) = (1-\frac{1}{2^{s}}) \cdot \zeta(s)로 정리되고 우변은 \frac{1}{{odd}^{s}}(odd는 홀수)의 형태로 정리되므로

(1-\frac{1}{2^{s}}) \cdot \zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots

위의 식 우변의 분모에서 2의 배수가 모두 사라지는 것을 관찰 할 수 있다. 이제 에라토스테네스의 체를 재현시키기 위해 위의 결과에 \frac{1}{3^{s}}를 곱하면

\frac{1}{3^{s}}(1-\frac{1}{2^{s}}) \cdot \zeta(s) = \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s} + \cdots

이 결과를 위 식에서 빼면

(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}}) \cdot \zeta(s) = 1 + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \cdots

이로써 우변의 분모에서 3의 배수가 모두 사라진다. 이를 무한히 반복하면 모든 소수 p에 대하여

\cdots(1-\frac{1}{p^{s}})\cdots(1-\frac{1}{11^{s}})(1-\frac{1}{7^{s}})(1-\frac{1}{5^{s}}) (1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s) = 1

이때 1-\frac{1}{p^{s}}1-p^{-s}로 간단히 표현할 수 있으므로 위 식을 간단히 표현하면

\prod_{p \text{ prime}}1-p^{-s} \cdot \zeta(s)=1

이항하면

\zeta(s)= \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}

이로써 증명이 끝난다.

주석[편집]

  1. 존 더비셔, 박병철 역, 리만 가설, 승산, 2006, 154쪽, ISBN 978-89-88907-88-7
  2. 존 더비셔, 같은 책, 149 -153쪽
  3. Euler Product Formula, myyn.org, 2007-07-16에 읽어 봄