초기하함수 (超幾何函數, 영어 : hypergeometric function )는 기하급수 를 일반화시키는 일련의 특수 함수 들이다. 일련의 거듭제곱 급수 로 나타내어지고, 어떤 선형 상미분 방정식 을 만족시킨다.
초기하 미분 방정식 (영어 : hypergeometric differential equation )은 미지 함수
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
max
{
p
,
q
+
1
}
{\displaystyle \max\{p,q+1\}}
상미분 방정식 이다.
z
∏
n
=
1
p
(
z
d
d
z
+
a
n
)
w
(
z
)
=
z
d
d
z
∏
n
=
1
q
(
z
d
d
z
+
b
n
−
1
)
w
(
z
)
{\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}+a_{n}\right)w(z)=z{\frac {d}{dz}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}+b_{n}-1\right)w(z)}
여기서
a
=
(
a
1
,
…
,
a
p
)
∈
R
p
{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\dots ,a_{p})\in \mathbb {R} ^{p}}
b
=
(
b
1
,
…
,
b
q
)
∈
R
q
{\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\dots ,b_{q})\in \mathbb {R} ^{q}}
는 임의의 상수들이다. 이 방정식의 해는 다음과 같은 급수로 전개시킬 수 있다.
p
F
q
(
a
;
b
;
z
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
)
n
(
b
)
n
z
n
n
!
{\displaystyle {}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {a} )_{n}}{(\mathbf {b} )_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}
여기서
(
x
)
n
=
x
(
x
+
1
)
⋯
(
x
+
n
−
1
)
{\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)}
은 상승 포흐하머 기호 이며,
(
a
)
n
=
(
a
1
)
n
(
a
2
)
n
⋯
(
a
p
)
n
{\displaystyle (\mathbf {a} )_{n}=(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\cdots (a_{p})_{n}}
(
b
)
n
=
(
b
1
)
n
(
b
2
)
n
⋯
(
b
q
)
n
{\displaystyle (\mathbf {b} )_{n}=(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\cdots (b_{q})_{n}}
이다. 이 급수
p
F
q
{\displaystyle {}_{p}F_{q}}
초기하급수 (영어 : hypergeometric series )라고 하며, 만약 이 급수가 수렴하는 경우 초기하함수 라고 한다.
정의에 따라, 초기하함수
p
F
q
(
a
;
b
;
z
)
{\displaystyle {}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)}
{
a
1
,
…
,
a
p
}
{\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{p}\}}
{
b
1
,
…
,
b
q
}
{\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{q}\}}
{
a
1
,
…
,
a
p
}
{\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{p}\}}
{
b
1
,
…
,
b
q
}
{\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{q}\}}
교집합 이 있으면, 이들을 서로 약분할 수 있다. 예를 들어
a
p
=
b
q
{\displaystyle a_{p}=b_{q}}
p
F
q
(
a
1
,
…
,
a
p
;
b
1
,
…
,
b
q
;
z
)
=
p
−
1
F
q
−
1
(
a
1
,
…
,
a
p
−
1
;
b
1
,
…
,
b
q
−
1
;
z
)
{\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)={}_{p-1}F_{q-1}(a_{1},\dots ,a_{p-1};b_{1},\dots ,b_{q-1};z)}
이다.
급수 전개에 따라, 초기하함수의 미분은 다음과 같다.
d
n
d
z
n
p
F
q
(
a
;
b
;
z
)
=
(
a
)
n
(
b
)
n
p
F
q
(
a
+
n
;
b
+
n
;
z
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}{}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)={\frac {(\mathbf {a} )_{n}}{(\mathbf {b} )_{n}}}{}_{p}F_{q}(\mathbf {a} +n;\mathbf {b} +n;z)}
여기서
a
+
n
=
(
a
1
+
n
,
a
2
+
n
,
…
,
a
p
+
n
)
{\displaystyle \mathbf {a} +n=(a_{1}+n,a_{2}+n,\dots ,a_{p}+n)}
b
+
n
{\displaystyle \mathbf {b} +n}
복소 상미분 방정식
z
(
z
d
d
z
+
α
1
)
⋯
(
z
d
d
z
+
α
n
)
f
=
(
z
d
d
z
+
β
1
−
1
)
⋯
(
z
d
d
z
+
β
n
−
1
)
f
{\displaystyle z\left(z{\frac {d}{dz}}+\alpha _{1}\right)\cdots \left(z{\frac {d}{dz}}+\alpha _{n}\right)f=\left(z{\frac {d}{dz}}+\beta _{1}-1\right)\cdots \left(z{\frac {d}{dz}}+\beta _{n}-1\right)f}
의
n
{\displaystyle n}
선형 독립 해는
z
1
−
β
i
n
F
n
−
1
(
α
1
−
β
i
+
1
,
…
,
α
n
−
β
n
+
1
;
β
1
−
β
i
,
…
,
β
i
−
β
i
+
1
^
,
…
,
β
n
−
β
i
+
1
;
z
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
{\displaystyle z^{1-\beta _{i}}{}_{n}F_{n-1}(\alpha _{1}-\beta _{i}+1,\dots ,\alpha _{n}-\beta _{n}+1;\beta _{1}-\beta _{i},\dots ,{\widehat {\beta _{i}-\beta _{i}+1}},\dots ,\beta _{n}-\beta _{i}+1;z)\qquad (i=1,\dots ,n)}
이다. (여기서
⋯
x
^
⋯
{\displaystyle \cdots {\hat {x}}\cdots }
x
{\displaystyle x}
푹스 방정식 (해가 정칙 특이점 만을 갖는 방정식)이며, 리만 구 위의 (정칙) 특이점은
{
0
,
1
,
∞
^
}
∈
C
^
{\displaystyle \{0,1,{\widehat {\infty }}\}\in {\hat {\mathbb {C} }}}
1
{\displaystyle 1}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
선형 독립 해들을 갖는다. 나머지 하나의 해는 1 근처에서 모노드로미를 가지므로 포함되지 않는다.
0
{\displaystyle 0}
∞
^
{\displaystyle {\widehat {\infty }}}
z
≠
0
,
1
,
∞
^
{\displaystyle z\neq 0,1,{\widehat {\infty }}}
n
{\displaystyle n}
어떤 밑점
z
0
∈
C
^
∖
{
0
,
1
,
∞
^
}
{\displaystyle z_{0}\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0,1,{\widehat {\infty }}\}}
벡터 공간 을
V
z
0
(
α
1
,
…
,
α
n
;
β
1
,
…
,
β
n
)
{\displaystyle V_{z_{0}}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n};\beta _{1},\dots ,\beta _{n})}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
모노드로미 에 따라서 기본군 의 다음과 같은 군 표현 이 존재한다.
ϕ
:
π
0
(
C
^
∖
{
0
,
1
,
}
^
;
z
0
)
→
GL
(
V
z
0
)
{\displaystyle \phi \colon \pi _{0}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0,1,{\widehat {\}}};z_{0})\to \operatorname {GL} (V_{z_{0}})}
임의의
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}
기본군
π
0
(
C
^
∖
{
0
,
1
,
}
^
;
z
0
)
=
⟨
g
0
,
g
1
,
g
∞
|
g
0
g
1
g
∞
=
1
⟩
{\displaystyle \pi _{0}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0,1,{\widehat {\}}};z_{0})=\langle g_{0},g_{1},g_{\infty }|g_{0}g_{1}g_{\infty }=1\rangle }
ϕ
(
g
0
)
{\displaystyle \phi (g_{0})}
고윳값 은
exp
(
−
2
π
i
β
i
)
{\displaystyle \exp(-2\pi i\beta _{i})}
(
i
=
1
,
…
,
n
)
{\displaystyle (i=1,\dots ,n)}
ϕ
(
g
∞
)
{\displaystyle \phi (g_{\infty })}
고윳값 은
exp
(
2
π
i
α
i
)
{\displaystyle \exp(2\pi i\alpha _{i})}
(
i
=
1
,
…
,
n
)
{\displaystyle (i=1,\dots ,n)}
ϕ
(
g
1
)
{\displaystyle \phi (g_{1})}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
이 조건을 충족시키는 군 표현은 유일하며, 이를 초기하군
H
(
α
i
,
β
i
)
{\displaystyle H(\alpha _{i},\beta _{i})}
0
F
0
(
;
;
z
)
=
exp
z
{\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=\exp z}
지수 함수 이다.
1
F
0
(
a
;
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
a
{\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}}
기하급수 이다. 이로부터 "초기하"라는 이름이 유래하였다.
0
F
1
(
;
b
;
z
)
{\displaystyle {}_{0}F_{1}(;b;z)}
합류 초기하 극한 함수 (영어 : confluent hypergeometric limit function )라고 하며, 다음과 같이 베셀 함수 로 나타낼 수 있다.
J
α
(
x
)
=
(
x
2
)
α
Γ
(
α
+
1
)
0
F
1
(
;
α
+
1
;
−
1
4
x
2
)
{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right)}
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}
제1종 합류 초기하함수 (영어 : confluent hypergeometric function of the first kind )라고 한다.
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}
가우스 초기하함수 (영어 : Gaussian hypergeometric function )라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다.
가우스 초기하함수의 특수한 경우로는 다음을 들 수 있다.
2
z
2
F
1
(
1
/
2
,
1
;
3
;
z
2
)
=
arcsin
z
{\displaystyle 2z{}_{2}F_{1}(1/2,1;3;z^{2})=\arcsin z}
π
2
2
F
1
(
1
/
2
,
1
/
2
;
1
;
z
2
)
=
K
(
z
)
=
∫
0
1
d
x
(
1
−
x
2
)
(
1
−
z
2
x
2
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;z^{2})=K(z)=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-z^{2}x^{2})}}}}
여기서
K
(
z
)
{\displaystyle K(z)}
타원적분 이다.
n
F
n
−
1
{\displaystyle {}_{n}F_{n-1}}
n
{\displaystyle n}
클라우센-토메 초기하함수 (영어 : Clausen–Thomae hypergeometric function )라고 한다. 이는 토마스 클라우센(덴마크어 : Thomas Clausen )과 카를 요하네스 토메(독일어 : Carl Johannes Thomae )의 이름을 땄다. 이는 기하급수
1
F
0
{\displaystyle {}_{1}F_{0}}
2
F
1
{\displaystyle {}_{2}F_{1}}
모노드로미 이론을 갖는다.
Beukers, F. (2007). 〈Gauss’ hypergeometric function〉 (PDF) . Rolf-Peter Holzapfel. 《Arithmetic and Geometry around Hypergeometric Functions》. Progress in Mathematics (영어) 260 . Birkhäuser. 23–42쪽. Zbl 1118.14012 . 大島, 利雄 (2013년 3월). 〈An elementary approach to the Gauss hypergeometric function〉 . 《Representation Theory of Algebraic Groups and Related Topics: Proceedings of the workshop on Representation Theory, September 15,16, 2012, Josai University》. Josai Mathematical Monographs (영어) 6 . 3–23쪽. ISSN 1344-7777 . Beukers, F. (2014년 1월). “Hypergeometric functions: how special are they?”. 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 61 (1): 48–56. doi :10.1090/noti1065 . Gasper, George; Mizan Rahman (2004). 《Basic hypergeometric series》. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (영어) 96 2판. Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511526251 . ISBN 0-521-83357-4 Zbl 1129.33005 . Yoshida, Masaaki (1997). 《Hypergeometric functions, my love: modular interpretations of configuration spaces》. Aspects of Mathematics (영어) 32 . Vieweg+Teubner. doi :10.1007/978-3-322-90166-8 . ISBN 978-3-322-90168-2 ISSN 0179-2156 . MR 1453580 . Zbl 0889.33008 . Slater, Lucy Joan (1966). 《Generalized hypergeometric functions》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X MR 0201688 . Zbl 0135.28101 .
