단조함수

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단조 증가. 강한 단조 증가는 아니다.

수학에서, 단조 함수(單調函數, 영어: monotonic function)는 주어진 순서를 보존하는 함수이다. 기하학적으로, 실수 단조 함수의 그래프는 왼쪽에서 오른쪽으로 줄곧 상승하거나 줄곧 하강한다. 대수학적으로, 단조 함수는 두 순서 집합 사이의 준동형이다.

정의[편집]

실수 구간 정의역, 실수 집합 공역으로 하는 함수 이 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, 단조 함수라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 이면 . 이 경우, 증가 함수(增加函數, 영어: increasing function)라고 하고, 단조 증가(영어: monotonically increasing)한다고 한다.
  • 임의의 에 대하여, 이면 . 이 경우, 감소 함수(減少函數, 영어: decreasing function)라고 하고, 단조 감소(영어: monotonically decreasing)한다고 한다.

만약 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, 강한 단조 함수(영어: strictly monotonic function)라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 이면 . 이 경우, 강한 증가 함수(영어: strictly increasing function)라고 한다.
  • 임의의 에 대하여, 이면 . 이 경우, 강한 감소 함수(영어: strictly decreasing function)라고 한다.

즉, 단조 함수는 순서 관계 를 보존하거나 반전시키는 함수이며, 강한 단조 함수는 절대 순서 관계 를 보존하거나 반전시키는 함수이다. 강한 단조 함수는 단조 함수보다 강한 개념이다. 예를 들어, 단조 함수는 어떤 부분 구간에서 줄곧 상수일 수 있으나, 강한 단조 함수는 그럴 수 없다.

실수 부분 집합 에서 실수 집합 로 가는 함수 의, 부분 구간 에서의 단조성은, 로의 제한 의 단조성을 뜻한다.

보다 일반적으로, 두 부분 순서 집합 , 사이의 순서 보존 사상(順序保存寫像, 영어: order-preserving map)은, 임의의 에 대하여 이면 인 함수 이다. 즉, 두 부분 순서 집합 사이의 준동형이다. 두 부분 순서 집합 사이의 순서 반전 사상(영어: order-reversing map)은, 임의의 에 대하여 이면 인 함수 이다. 즉, 첫번째 부분 순서 집합과, 두번째 부분 순서 집합의 역순서 집합 사이의 준동형이다.

미분과 단조성[편집]

미분은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다.

미분 가능한 실수 함수 와 부분 구간 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

  • 에서 단조 증가할 필요 충분 조건은, 임의의 에 대하여, 인 것이다.[1]
  • 에서 단조 감소할 필요 충분 조건은, 임의의 에 대하여, 인 것이다.[1]

같은 에 대하여, 강한 단조 함수에 대한 다음 성질들도 성립한다.

  • 에서 강한 증가 함수일 필요 충분 조건은, 임의의 에 대하여, 이며, 임의의 에 대하여 인 부분 구간 가 존재하지 않는 것이다.
  • 에서 강한 감소 함수일 필요 충분 조건은, 임의의 에 대하여, 이며, 임의의 에 대하여 인 부분 구간 가 존재하지 않는 것이다.

특히, 만약 에서 항상 이거나, 항상 이면, 에서 강한 단조 함수이다.[1] 그러나 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수 은 실수 전체에서 강한 증가 함수이지만, 이다.

구간 에 정의된 실수 단조 함수 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

이에 따라, 연속 함수가 아니거나 미분 불가능한 단조 함수의 성질은 상당히 제한된다.

각주[편집]

  1. Robert G. Bartle; Donald R. Sherbert (2006). 강수철 역, 편집. 《실해석학개론》. 범한서적. 220~221쪽. ISBN 897129177X. 
  2. Walter Rudin (1976). 《Principles of mathematical analysis》 3판. New York: McGraw-Hill. 96쪽. ISBN 007054235X.