함수

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함수를 상자에 비유한 그림.

수학에서, 함수(函數, 영어: function) 또는 사상(寫像, 영어: map)은 첫 번째 집합의 임의의 원소를 두 번째 집합의 오직 한 원소에 대응시키는 대응 관계이다.

정의[편집]

함수의 정의역 X, 공역 Y, 치역 f(X)

함수 는 다음과 같은 튜플 이다.

  • 집합이며, 정의역이라고 한다.
  • 집합이며, 공역이라고 한다.
  • 곱집합 부분 집합이며, 그래프라고 한다.

이 튜플이 다음 공리들을 만족시켜야지만 함수라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 가 유일하게 존재한다.

다시 말해, 함수는 정의역의 각 원소를 정확히 하나의 공역 원소에 대응시킨다. 이러한 라고 쓰며, 이러한 들의 집합을 치역이라고 한다. 이는 공역의 부분 집합이나, 공역보다 작을 수 있다.

사상(영어: map, 영어: morphism)은 보통 함수의 동의어로 쓰이나, 추상대수학에서는 더 좁은, 범주론에서는 더 넓은 뜻을 갖는다.

표기

가 정의역 , 공역 를 갖는 함수라는 뜻이다. 표기

와 같은 뜻이다.

함수는 정의역과 공역을 생략하여 , , 등으로 표기하기도 한다.

표현[편집]

구체적인 함수를 명시 표현하는 방법은 다음과 같이 여러가지가 있다.

[편집]

현실적인 예로, 한 가족의 구성원들의 집합

{안철수, 김영희, 김민규}

를 정의역으로 하며, 월일의 집합

{1월 1일, 1월 2일, ..., 2월 29일, ..., 12월 30일, 12월 31일}

을 공역으로 하며, 각 구성원을 그 생일로 대응시키는 대응 관계는 함수이다. 이는, 모든 구성원은 어느 날엔가 태어났으며, 동시에 두 다른 날에 태어났을 수 없기 때문이다.

정의역이 , 공역이 이며, 규칙

을 따르는 대응 관계 는 함수이다. 이 경우,

이다.

실수 집합을 로 쓰자. 그렇다면, 다음과 같은 대응 관계는 모두 함수이다.

  • 이며 . 이 경우, (예를 들어) 이다.
  • 이며 . 이 경우, (예를 들어) 이다.

공집합로 쓰자. 그렇다면,

  • 임의의 집합 에 대하여, 는 함수이며, 여기에는 아무런 대응 규칙이 필요하지 않다. 이러한 함수를 공함수라고 한다.
  • 는 공역이 공집합인 유일한 함수이다.

유형[편집]

단사 함수
전사 함수
전단사 함수

정의역이 , 공역이 인 함수 가 주어졌다고 하자.

단사 함수[편집]

만약 가 정의역의 서로 다른 원소를 항상 공역의 서로 다른 원소로 대응시킨다면, 단사 함수 또는 일대일 함수라고 한다.[1] 예를 들어, 함수

는 단사 함수이다.

전사 함수[편집]

만약 가 공역의 모든 원소에게 정의역의 적어도 하나의 원소를 대응시킨다면, (즉, 치역이 공역과 같다면,) 전사 함수 또는 위로의 함수라고 한다.[1] 예를 들어, 함수

는 전사 함수이다.

전단사 함수[편집]

만약 가 동시에 단사 함수이자 전사 함수라면, 전단사 함수 또는 일대일 대응이라고 한다.[1] 예를 들어, 함수

는 전단사 함수이다.

실수 위의 함수[편집]

함수 의 정의역 내의 모든 원소 에 대하여 이면 가 성립할 때 단조 증가한다고 하며 반대의 경우를 단조 감소한다고 한다. 단조 증가하거나 감소하는 함수를 단조함수라 한다.[1]

실수의 집합 을 정의역으로 하고 의 관계가 성립할 때 이를 짝함수 또는 우함수라 한다. 는 대표적인 짝함수인데, 예를 들어 의 값이 2 또는 -2 일 경우 이에 해당하는 값는 모두 4이다. 이 경우 그래프는 좌우 동형을 보이게 된다. 한편, 의 관계가 성립하는 경우는 홀함수 또는 기함수라 한다. 예를 들어 와 같은 함수가 있다.[2]

반례[편집]

정의역의 모든 원소는 그에 해당하는 상을 반드시 가져야 한다. 따라서, 모든 정수의 집합 의 원소를 의 관계식을 만족하는 집합 Y 로 사상하는 관계는 함수가 아니다. x=1 일 때 나눗셈의 정의에 의해 불능이 되어 상이 존재하지 않기 때문이다. 이 사례의 경우 정의역을 1 이 아닌 모든 정수로 다시 정의하면 불능인 경우가 없어지기 때문에 함수가 된다.

한편, 위에서 서술한 함수의 정의에 따르면 정의역에 속하는 원소는 오직 하나의 상을 가져야 한다. 따라서, -1 보다 크고 1 보다 작은 실수의 집합 에 속하는 임의의 원소 x 를 관계식 에 의해 집합 에 대응시키는 관계는 함수가 아니다. 이 관계에서 x는 언제나 두 개의 y 값에 대응하기 때문이다. 다만, 함수의 정의를 달리하여 정의역에 속한 하나의 원소가 공역의 여러 값을 상으로 갖는 것을 허용할 수도 있다. 이 경우, 하나의 값만을 갖는 함수를 단가 함수, 두 개 이상의 값을 갖는 함수를 다가 함수라 한다.[1]

정의역에 있는 모든 원소의 상이 모두 다른 값을 가질 필요는 없다. 예를 들어, 모든 자연수의 집합 의 모든 원소 n을 2로 나눈 나머지의 치역은 오직 뿐으로, 홀수의 나머지는 모두 1 이고, 짝수의 나머지는 모두 0 이다. 하지만, 하나의 자연수를 2로 나눈 나머지는 오직 한 가지 뿐이므로 정의역의 모든 원소는 치역과 일대일 대응을 이루게 된다. 따라서 모든 자연수의 집합 를 2로 나눈 나머지로 사상하는 관계는 함수의 정의를 만족한다.

어떤 대응 관계가 함수가 되려면, 첫째, 정의역의 모든 원소는 공역에 대응 원소가 있어야 하며, 둘째, 정의역의 원소의 대응 원소는 여러 개가 아니어야 한다. 함수의 정의에서 첫 번째 조건을 제거한 대응 관계를 부분 정의 함수라고 하며, 두 번째 조건을 제거한 대응 관계를 다가 함수라고 한다.

연산과 관계[편집]

상과 원상[편집]

집합 및 함수 에 대하여,

이라고 하며, 로 쓴다. 집합 및 함수 에 대하여,

원상이라고 하며, 로 쓴다. 치역은 곧 정의역의 상 이다.

[편집]

함수 가 주어졌다고 하자. 만약

  • 임의의 에 대하여, 가 유일하게 존재한다.

를 만족한다면, 이에 따른, 정의역과 공역은 뒤바뀌고, 대응 관계는 방향만 뒤바뀐 함수

가 존재한다. 이를 이라고 한다. 역이 존재하는 함수를 가역 함수라고 한다.

어떤 함수가 가역 함수일 필요 충분 조건은, 전단사 함수라는 것이다.

예를 들어, 지수 함수는 가역 함수이며, 그 역함수는 로그 함수이다.

합성[편집]

함수 의 공역과 함수 의 정의역이 같다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 정의된 함수 를 두 함수 합성이라고 한다.

즉, 먼저 의 원소를 에 따라, 의 공역이자 의 정의역인 의 원소에 대응시키고, 다시 이를 에 따라 의 원소로 대응시킨다.

제한과 확장[편집]

함수 및 정의역의 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 정의된 함수 로의 제한(制限, 영어: restriction)이라고 한다.

즉, 원래 대응 방식을 유지하되, 정의역을 로 줄인 함수이다.

두 함수 가 주어졌다고 하자. 만약 가 다음 두 조건을 만족시키면, 제한이라고 하며, 확장이라고 한다.

  • . 즉, 두 정의역이 부분 집합 관계이다.
  • . 즉, 공공의 정의역에서 대응 방식이 같다.

사실, 이는 과 동치이다.

합집합[편집]

두 함수

의 "합집합"은 이항 관계

이다. 마찬가지로 함수들의 족의 "합집합"을 정의할 수 있다.

두 함수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족하는 두 함수를 서로 일치한다고 한다.

  • 가 여전히 함수이다.
  • 임의의 에 대하여, 이다.

특히, 정의역이 서로소 집합인 두 함수는 서로 일치한다.

보다 일반적으로, 함수들의 족 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수족을 일치한다고 한다.

  • 가 여전히 함수이다.
  • 임의의 가 서로 일치한다.

점별 연산[편집]

정의역과 공역이 같은 함수들에 대한 점별 연산을 공역 위의 연산으로부터 유도할 수 있다. 예를 들어, 두 실수값 함수

에 대한 점별 합은 다음과 같은 함수이다.

역사[편집]

삼각함수와 같은 특정 함수에 대한 연구는 오래전부터 있어 왔다. 16세기 라이프치히 대학교의 수학 교수이자 코페르니쿠스의 《천구의 회전에 관하여》가 출간되는데 큰 역할을 하였던 레티쿠스는 1596년 《팔라티누스 삼각형 서(書)》(라틴어: Opus Palatinum de triangulis)에서 삼각함수표를 정리하여 발표하기도 하였다.[3] 그러나 당시의 연구는 현재의 함수 정의에 확립되어 있는 관계에 대한 개념이 없이 단순히 계산의 편의를 도모하기 위한 것이었다. 한편, 르네 데카르트직교좌표계를 이용하여 오늘날 함수의 관계식에 해당하는 방정식그래프로 표현하는 방법을 제시하였다.[4]

17세기에 도입한 대부분의 함수는 함수 개념이 충분히 인식되기 이전에는 곡선, 특히 운동 궤적으로서 연구되었다. 1667년, 제임스 그레고리(영어: James Gregory)는 논문 《원과 쌍곡선의 구적법에 대하여》(라틴어: Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura)에서 함수를 다른 양들에 대한 대수 연산 및 극한 연산을 통해 얻는 양으로 정의하였다. 1665년부터, 아이작 뉴턴은 줄곧 "플루언트"(영어: fluent)라는 용어로 변수 간 관계를 지칭하였다. 1673년, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 오늘날 쓰이는 용어인 "펑크션"(영어: function)을 곡선 위 점에 따라 변화하는 양으로 정의하였다. 1697년, 요한 베르누이는 함수를 상수와 변수가 대수 연산 및 초월 연산을 통해 구성하는 양으로 정의하였으며, 1698년에 라이프니츠의 용어를 채택하였다. 1714년, 라이프니츠는 저서 《역사》(라틴어: historia)에서 함수를 변수에 의존하는 양으로 정의하였다. 그러나, 그는 여태 미분 가능한 함수만을 다루었다.

레온하르트 오일러는 1734년에 오늘날 쓰이는 표기법 를 도입하였다. 또한, 오일러는 1748년에 저서 《무한 해석 도입》(라틴어: Introductio in Analysin Infinitorum)에서 함수를 변수와 상수로 구성된 임의의 해석적 수식으로 정의하였으며, 1775년에 저서 《미분학 도입》(라틴어: Institutiones Calculi Differentialis)에서 변수에 의존하며 그 변화에 따라 변화하는 또 다른 변수로 정의하였다.

1797년, 실베스트르 프랑수아 라크루아(프랑스어: Sylvestre-François Lacroix)는 저서 《미분과 적분에 대하여》(프랑스어: Traité du Calcul Différentiel et du Calcul Intégral)에서 수식으로 표현될 필요가 없는, 더 넓은 함수의 개념을 도입하였으며, 5차 방정식의 근이 5차 방정식의 계수의 함수라는 예시를 들었다. 1811~15년, 조제프루이 라그랑주는 저서 《역학 해석》(라틴어: Mecanique analytique)에서 "함수"라는 용어를 거의 모든 유형의 함수에서 사용하였다.

조제프 푸리에는 함수가 해석적 수식으로 표현될 수 있을 필요가 없다고 주장하였으나, 동시에 모든 함수는 푸리에 급수로 표현될 수 있다고 주장하였다. 그러나, 그는 여태 임의의 유한 구간에서 유한 개의 불연속점만을 갖는 함수만을 다루었다.

1837년, 페터 구스타프 르죈 디리클레는 논문 《완전히 임의인 함수의 사인 및 코사인 함수 표현에 대하여》(독일어: Ober die Darstellung ganz willkurlicher Functionen durch Sinus-und Cosinusreihen)에서, 의 함수라는 것을 의 주어진 구간에서의 임의의 값에 의 유일한 값이 대응하는 것으로 정의하였으며, 에 따라 어떤 법칙을 통해 결정되거나, 수학 공식으로 표현될 필요는 없다고 설명하였다. 이는 오늘날에도 사용되는 정의이다.

함수의 현대적 정의는 게오르크 칸토어가 제기한 집합론에 기반한 것이다. 버트런드 러셀집합을 기반으로 수학의 공리를 재서술하면서 함수 역시 이를 기반으로 재정의하였다.[5]

이선란은 저서 《대수학》(중국어 간체: 代数学, 정체: 代數學)에서 오늘날 한국어 및 중국어에서 쓰이는 용어인 "함수"(중국어 간체: 函数, 정체: 函數, 병음: hánshù, 한슈[*])를 최초로 사용하였다. 일본어에서는 "" 글자가 1946년 상용 한자 목록에 포함되지 않았으므로, 일본어에서 같은 음을 갖는 글자 "関"를 사용하여 "칸스우"(일본어: 関数 かんすう[*])로 표기하게 되었다. 이선란은 《대수학》에서 함수를 변수를 포함하는 변수로 정의하며, 여기서 "함"()은 "포함"(包含)을 뜻한다. 즉,

이 변수가 저 변수를 포함한다면, 이는 저의 함수이다.

凡此變數中函彼變數者,則此為彼之函數。

참고 문헌[편집]

  1. 1. 기본개념, 성균과 대학교 대수학 연구실 이상구 교수 홈페이지
  2. 박은순, 미분 적분학, 숭실대학교출판부, 2009, 130쪽
  3. 과학동아편집실, 수학자를 알면 공식이 보인다, 성우, 2002, 72-74쪽
  4. 과학동아편집실, 수학자를 알면 공식이 보인다, 성우, 2002, 82-88쪽
  5. The Principles of Mathematics

바깥 고리[편집]