초콤팩트 기수

집합론에서 초콤팩트 기수(超compact基數, 영어: supercompact cardinal)는 가측 기수보다 더 강한 폐포 성질을 갖춘 큰 기수이다. 초콤팩트 기수는 반사 성질을 보인다. 즉, 초콤팩트 기수 이상에서 일어나는 현상은 반드시 초콤팩트 기수 미만에서도 일어난다.

정의

순서수 $\alpha$ 및 기수 $\kappa$에 대하여, 다음 성질들을 만족시키는 추이적 모형 $M$이 존재한다면 $\kappa$를 $\alpha$-초콤팩트 기수라고 한다.

• 기본 매장 $j\colon M\to V$가 존재한다. 여기서 $V$는 폰 노이만 전체이다.
• $j$의 임계점은 $\kappa$이다.
• $j(\kappa )>\alpha .$
• 임의의 함수 $f\colon \alpha \to M$에 대하여, $f\in M$이다.

초콤팩트 기수는 모든 순서수 $\alpha$에 대하여 $\alpha$-콤팩트한 기수이다.

성질

초콤팩트 기수는 큰 기수이다. 즉, 이러한 기수의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 증명할 수 없다.

모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수이다.

초콤팩트 기수는 반사 성질(영어: reflection property)을 보인다. 즉, 임의의 초콤팩트 기수 $\kappa$ 및 대부분의 기수 성질에 대하여, 이 성질을 만족시키는 $\kappa$ 이상의 기수가 존재한다면, 이 성질을 만족시키는 $\kappa$ 미만의 기수 역시 존재한다. 예를 들어, 만약 일반화 연속체 가설이 $\kappa$ 미만에서 성립한다면, 이는 모든 기수에 대하여 성립한다.

만약 적어도 하나의 초콤팩트 기수가 존재한다면, $L(\mathbb {R} )$에 국한된 결정 공리 ${\mathsf {AD}}^{L(\mathbb {R} )}$가 성립한다. 하나의 초콤팩트 기수의 존재 대신, 무한히 많은 우딘 기수의 존재를 가정하여도 같은 결과가 성립한다.

같이 보기

• 강콤팩트 기수

각주

• Kanamori, Akihiro (2003). 《The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-88867-3. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. Zbl 1022.03033.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Supercompact cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2014년 12월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 6일에 확인함. 
• “Supercompact cardinal”. 《nLab》 (영어).