초콤팩트 기수

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집합론에서, 초콤팩트 기수(超compact基數, 영어: supercompact cardinal)는 가측 기수보다 더 강한 폐포 성질을 갖춘 큰 기수이다. 초콤팩트 기수는 반사 성질을 보인다. 즉, 초콤팩트 기수 이상에서 일어나는 현상은 반드시 초콤팩트 기수 미만에서도 일어난다.

정의[편집]

순서수 기수 에 대하여, 다음 성질들을 만족시키는 추이적 모형 이 존재한다면 -초콤팩트 기수 라고 한다.

  • 기본 매장 가 존재한다. 여기서 폰 노이만 전체이다.
  • 의 임계점은 이다.
  • 임의의 함수 에 대하여, 이다.

초콤팩트 기수는 모든 순서수 에 대하여 -콤팩트한 기수이다.

성질[편집]

초콤팩트 기수는 큰 기수이다. 즉, 이러한 기수의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 증명할 수 없다.

모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수이다.

초콤팩트 기수는 반사 성질(영어: reflection property)을 보인다. 즉, 임의의 초콤팩트 기수 및 대부분의 기수 성질에 대하여, 이 성질을 만족시키는 이상의 기수가 존재한다면, 이 성질을 만족시키는 미만의 기수 역시 존재한다. 예를 들어, 만약 일반화 연속체 가설 미만에서 성립한다면, 이는 모든 기수에 대하여 성립한다.

만약 적어도 하나의 초콤팩트 기수가 존재한다면, 에 국한된 결정 공리 가 성립한다.[1] 하나의 초콤팩트 기수의 존재 대신, 무한히 많은 우딘 기수의 존재를 가정하여도 같은 결과가 성립한다.[2][3]

참고 문헌[편집]

  1. Woodin, W. Hugh (1988년 9월). “Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 85 (18): 6587–6591. JSTOR 32425. PMC 282022. doi:10.1073/pnas.85.18.6587. 
  2. Martin, Donald A.; Steel, John R. (1988년 9월). “Projective determinacy”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 85 (18): 6582–6586. JSTOR 32424. PMC 282021. doi:10.1073/pnas.85.18.6582. 
  3. Martin, Donald A.; John R. Steel (1989년 1월). “A Proof of Projective Determinacy”. 《Journal of the American Mathematical Society》 (영어) 2 (1): 71–125. JSTOR 1990913. doi:10.1090/S0894-0347-1989-0955605-X. 

외부 링크[편집]