폰 노이만 전체

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집합론에서, 폰 노이만 전체(von Neumann全體, 영어: von Neumann universe)는 모든 집합모임(즉, 전체모임)에 초한 위계를 준 것이다.

정의[편집]

임의의 순서수 \alpha에 대하여, 집합 V_\alpha를 다음과 같이 초한 귀납법으로 정의하자.

V_\alpha=\bigcup_{\beta<\alpha}\mathcal P(V_\beta)

그렇다면 폰 노이만 전체는 이들의 합모임이다.

V=\bigcup_{\alpha\in\operatorname{Ord}}V_\alpha

체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정칙성 공리로 인하여 이는 모든 집합의 모임과 같다.

집합 S계수 \operatorname{rank}S는 다음과 같은 순서수이다.

\operatorname{rank}S=\min\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon S\subset V_\alpha\}

즉, S가 부분 집합으로 등장하는 최초의 단계이다.

성질[편집]

임의의 순서수 \alpha에 대하여 V_\alpha는 집합이지만, 이들의 합모임 V고유 모임이며, 집합이 아니다. 이를 칸토어 역설이라고 한다.

최소 무한 순서수\omega로 쓰면, V_\omega는 계승적 유한 집합(영어: hereditarily finite set, 다른 계승적 유한 집합만을 원소로 포함하는 유한 집합)들의 집합이 되며, 이는 무한 공리를 가정하지 않는 집합론의 모형을 이룬다. \kappa도달 불가능한 기수일 경우 V_\kappa선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이며, V_{\kappa+1}모스-켈리 집합론의 모형이다.

같이 보기[편집]