누적 위계

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집합론에서, 누적 위계(累積位階, 영어: cumulative hierarchy)는 주어진 연산을 초한 점화식을 사용하여 초한 번 반복하여 구성되는 모임이다.

정의[편집]

집합집합에 대응시키는 연산이라고 하자. 또한, 추이적 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 초한 귀납법을 사용하여, 임의의 순서수 에 대하여 다음과 같은 집합들을 정의할 수 있다.

또한, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

여기서 는 모든 순서수모임이다. 이러한 구성을 누적 위계라고 하며, 임의의 대상 에 대하여,

에서의 계수(영어: rank)라고 한다. (만약 가 주어지지 않았다면, 이는 흔히 폰 노이만 위계에서의 계수를 뜻한다.)

성질[편집]

가 집합을 집합으로 대응시키므로, 임의의 순서수 에 대하여 는 항상 집합이다.

그러나 는 집합이 아니라 고유 모임일 수 있다. 이는 칸토어 역설의 일종이다.

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자명한 경우[편집]

어떤 집합 에 대하여, 상수 함수 일 때, 에 대한 위계는

가 된다.

항등 함수 일 때, 에 대한, 로부터 시작하는 위계는

이다. 보다 일반적으로, 어떤 순서수 가 다음 성질을 갖는다고 하자.

  • 임의의 에 대하여 에 대하여 항등 함수이다.

그렇다면

이다.

폰 노이만 전체[편집]

(멱집합 연산)일 때, 로 표기하며, 폰 노이만 전체(von Neumann全體, 영어: von Neumann universe)라고 한다.

체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정칙성 공리로 인하여 는 모든 집합의 모임과 같으며, 집합 계수 는 다음과 같은 순서수이다.

즉, 가 부분 집합으로 등장하는 최초의 단계이다.

는 (모든 집합을 포함하므로) 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이다. 최소 무한 순서수로 쓰면, 계승적 유한 집합들의 집합이 되며, 이는 무한 공리를 가정하지 않는 집합론의 모형을 이룬다. 도달 불가능한 기수일 경우 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이며, 모스-켈리 집합론의 모형이다. 이러한 꼴의 그로텐디크 전체라고 한다.

구성 가능 전체[편집]

(정의 가능 멱집합 연산)일 때, 로 표기하며, -구성 가능 집합(영어: -constructible universe)이라고 한다. 흔히 일 경우 로 표기하며, 일 경우 흔히 로 표기한다.

이름[편집]

임의의 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산

에 대한 누적 위계를 -이름 위계(영어: hierarchy of -names)라고 하며,[1]:188, Definition VII.2.5 로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

역사[편집]

1889년에 주세페 페아노는 참 또는 모든 대상들의 모임라틴어: vērum 베룸[*](참)의 머리글자 V로 나타내었다.[2]:VIII, XI (페아노는 명제와 이로부터 정의되는 모임을 구별하지 않았다.)

이후 1928년에 존 폰 노이만초한 귀납법을 도입하였으나,[3][4] 폰 노이만은 구성 가능 전체를 도입하지 않았다.[5]:279, §4.10에른스트 체르멜로가 1930년에 이를 사용하여 폰 노이만 전체 를 최초로 도입하였다.[6]:36–40[5]:270, §4.9

참고 문헌[편집]

  1. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》 (영어). North-Holland. ISBN 0-444-85401-0. 
  2. Peano, Ioseph (1889). 《Arithmetices principia: nova methodo exposita》 (라틴어). 토리노: Ediderunt fratres Bocca, regis bibliopolae. 
  3. von Neumann, J. (1928). “Die Axiomatisierung der Mengenlehre”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 27: 669–752. doi:10.1007/bf01171122. 
  4. von Neumann, J. (1928). “Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 99 (1): 373–391. doi:10.1007/bf01459102. ISSN 0025-5831. 
  5. Moore, Gregory H. (1982). 《Zermelo’s axiom of choice: its origins, development, and influence》. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences (영어) 8. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-9478-5. ISBN 978-1-4613-9480-8. ISSN 0172-570X. 
  6. Zermelo, Ernst (1930). “Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 16: 29–47. 

바깥 고리[편집]