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추이적 집합

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집합론에서 추이적 집합(推移的集合, 영어: transitive set)은 원소의 원소를 원소로 하는 집합이다.

정의

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집합 에 대하여 다음 조건들이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 추이적 집합이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여,
  • 임의의 에 대하여,

마찬가지로, 추이적 모임(영어: transitive class)을 정의할 수 있다.

집합 추이적 폐포(영어: transitive closure)는 를 포함하는 가장 작은 추이적 집합이다. 즉, 다음과 같다.

초추이적 집합

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집합 에 대하여 다음 두 조건이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 초추이적 집합(영어: supertransitive set)이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 만약 또는 라면,
  • 임의의 에 대하여,

초추이적 집합은 추이적 집합이다.

보다 일반적으로, 순서수 에 대하여, 다음과 같은 누적 위계

를 생각하자. 이 경우, 다음 조건을 만족시키는 집합을 -초추이적 집합(영어: -supertransitive set)이라고 한다.

  • 임의의 및 순서수 에 대하여,

즉, 모든 집합은 0-초추이적 집합이며, 1-초추이적 집합은 추이적 집합이며, 2-초추이적 집합은 초추이적 집합이다.

집합 -초추이적 폐포를 포함하는 가장 작은 -초추이적 집합이며, 다음과 같다.

성질

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연산에 대한 닫힘

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임의의 추이적 집합 에 대하여, 역시 추이적 집합이다.

임의의 추이적 집합들의 족 에 대하여, 역시 추이적 집합이다.

자명하지 않은 동형의 부재

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추이적 모임과 원소 관계로 이루어진 구조 사이의 동형 사상항등 함수밖에 없다. 즉, 추이적 모임 사이의 전단사 함수

를 만족시킨다면, 이며, 이다.[1]:67, Theorem 6.7 이는 정칙성 공리를 사용하여 보일 수 있다. 특히, 폰 노이만 전체는 자명하지 않은 자기 동형 사상을 갖지 않는다.

증명:

임의의 에 대하여, 를 보이는 것으로 충분하다. 정칙성 공리에 의하여, 모든 모임이 정초 모임임을 보일 수 있으며, 따라서 위에서 초한 귀납법을 사용할 수 있다. 이제, 임의의 에 대하여 라고 가정하자. 다음 두 가지를 보이면 족하다.

    • 임의의 에 대하여, 이다.
    • 임의의 에 대하여, 이므로, 이다.

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순서수의 폰 노이만 정의에 따르면, 순서수는 추이적 집합만을 원소로 하는 추이적 집합이다.

폰 노이만 전체의 정의에서, 임의의 순서수 에 대하여 는 추이적 집합이다. 폰 노이만 전체 는 추이적 고유 모임이다.

구성 가능 전체의 정의에서, 임의의 순서수 에 대하여 는 추이적 집합이다. 구성 가능 전체 은 추이적 고유 모임이다.

응용

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추이적 집합 · 모임은 모형 이론에서 집합론의 모형을 정의하기 위하여 쓰인다. 모스토프스키 붕괴 보조정리에 의하여, "괜찮은" 모형은 항상 추이적 모형으로 나타낼 수 있다.

같이 보기

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각주

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  1. Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Berlin: Springer. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. MR 1940513. Zbl 1007.03002. 

외부 링크

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