추이적 집합

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

집합론에서, 추이적 집합(推移的集合, 영어: transitive set)은 원소의 원소를 원소로 하는 집합이다.

정의[편집]

집합 에 대하여 다음 조건들이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 추이적 집합이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여,
  • 임의의 에 대하여,

마찬가지로, 추이적 모임(영어: transitive class)을 정의할 수 있다.

집합 추이적 폐포(영어: transitive closure)는 를 포함하는 가장 작은 추이적 집합이다. 즉, 다음과 같다.

초추이적 집합[편집]

집합 에 대하여 다음 두 조건이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 초추이적 집합(영어: supertransitive set)이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 만약 또는 라면,
  • 임의의 에 대하여,

초추이적 집합은 추이적 집합이다.

보다 일반적으로, 순서수 에 대하여, 다음과 같은 누적 위계

를 생각하자. 이 경우, 다음 조건을 만족시키는 집합을 -초추이적 집합(영어: -supertransitive set)이라고 한다.

  • 임의의 및 순서수 에 대하여,

즉, 모든 집합은 0-초추이적 집합이며, 1-초추이적 집합은 추이적 집합이며, 2-초추이적 집합은 초추이적 집합이다.

집합 -초추이적 폐포를 포함하는 가장 작은 -초추이적 집합이며, 다음과 같다.

성질[편집]

연산에 대한 닫힘[편집]

임의의 추이적 집합 에 대하여, 역시 추이적 집합이다.

임의의 추이적 집합들의 족 에 대하여, 역시 추이적 집합이다.

[편집]

순서수의 폰 노이만 정의에 따르면, 순서수는 추이적 집합만을 원소로 하는 추이적 집합이다.

폰 노이만 전체의 정의에서, 임의의 순서수 에 대하여 는 추이적 집합이다. 폰 노이만 전체 는 추이적 고유 모임이다.

폰 노이만 전체의 정의에서, 임의의 순서수 에 대하여 는 추이적 집합이다. 폰 노이만 전체 는 추이적 고유 모임이다.

구성 가능 전체의 정의에서, 임의의 순서수 에 대하여 는 추이적 집합이다. 구성 가능 전체 은 추이적 고유 모임이다.

응용[편집]

추이적 집합 · 모임은 모형 이론에서 집합론의 모형을 정의하기 위하여 쓰인다. 모스토프스키 붕괴 보조정리에 의하여, "괜찮은" 모형은 항상 추이적 모형으로 나타낼 수 있다.

외부 링크[편집]