동형 사상

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수학에서, 동형 사상(同型寫像, 문화어: 동형넘기기, 영어: isomorphism)은 서로 구조가 같은 두 대상 사이에, 모든 구조를 보존하는 사상이다. 두 대상 사이에 동형 사상이 존재하는 경우 서로 동형(同型, 영어: isomorphic)이라고 하며, 서로 동형인 두 대상은 구조가 같아 구조로서 구별할 수 없다.

정의[편집]

범주 의 사상 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 사상을 동형 사상이라고 한다.

두 대상 사이에 동형 사상이 존재하면, 서로 동형이라고 한다. 시작과 끝이 같은 동형 사상(즉, 자기 사상인 동형 사상)을 자기 동형 사상이라고 한다.

범주 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 균형 범주(均衡範疇, 영어: balanced category)라고 한다.

일반적으로, 단사 사상이자 전사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상들이 존재할 수 있다.

성질[편집]

서로 동형인 것은 동치 관계를 이룬다. 특히, 항등 사상이 동형 사상이므로, 모든 대상은 스스로에게 동형이다.

구체적 범주 에서, 자유 함자(망각 함자 의 왼쪽 수반 함자 )가 존재한다면, 의 사상에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

특히, 대수 구조 다양체의 범주에서는 자유 함자가 항상 존재하므로, 동형 사상은 전단사 함수준동형이다.

모든 아벨 범주와 모든 토포스는 균형 범주이다.

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여러 범주에서, 동형 사상들은 특별한 이름이 붙는다.

준군에서는 정의에 따라 모든 사상이 동형 사상이다. 특히, 을 하나의 대상만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 모든 사상은 동형 사상이다.

모노이드를 하나의 대상만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 동형 사상들은 가역원들이다.

균형 범주의 예[편집]

위상 공간의 범주는 균형 범주가 아니다. 이 범주에서, 전사 단사 사상은 전단사 함수연속 함수인데, 이는 위상 동형 사상보다 더 약한 조건이다. 그러나 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주는 균형 범주이다.

의 범주는 균형 범주이다.

의 범주는 균형 범주가 아니다. 예를 들어, 포함 사상 전사 사상이며 단사 사상이지만, 동형 사상이 아니다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]