수반 함자

범주론에서 수반 함자(隨伴函子, 영어: adjoint functor) 또는 딸림 함자(-函子)는 두 개의 함자가 서로 간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다.

정의

쌍대단위원과 단위원을 통한 정의

두 범주 ${\mathcal {C}}$ , ${\mathcal {D}}$ 사이의 두 함자

F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}

G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $F$ 와 $G$ 사이의 수반(영어: adjunction) $(\epsilon ,\eta )$ 는 다음과 같은 두 개의 자연 변환의 순서쌍이다.

\epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}

\eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF

여기서 $\operatorname {id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ 및 $\operatorname {id} _{\mathcal {D}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}$ 는 항등 함자이다. 이는 다음 조건을 만족시켜야만 한다.

\operatorname {id} _{F}=\epsilon F\circ F\eta

\operatorname {id} _{G}=G\epsilon \circ \eta G

여기서 $\operatorname {id} _{F}\colon F\Rightarrow F$ 및 $\operatorname {id} _{G}\colon G\Rightarrow G$ 는 항등 자연 변환이다. 즉, 다음 두 그림이 가환하여야 한다.

{\begin{matrix}F&{\xrightarrow {F\eta }}&FGF\\&{\scriptstyle \operatorname {id} _{F}}\searrow &\downarrow \scriptstyle \epsilon F\\&&F\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}G&{\xrightarrow {\eta G}}&GFG\\&{\scriptstyle \operatorname {id} _{G}}\searrow &\downarrow \scriptstyle G\epsilon \\&&G\end{matrix}}

이 경우, $F$ 를 $G$ 의 왼쪽 수반 함자(-隨伴函子, 영어: left-adjoint functor)라고 하고, $G$ 를 $F$ 의 오른쪽 수반 함자(-隨伴函子, 영어: right-adjoint functor)라고 하며, $\epsilon$ 은 쌍대단위원(雙對單位元, 영어: counit), $\eta$ 는 단위원(單位元, 영어: unit)이라고 한다. 이는 기호로

F\dashv G

또는

F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G

와 같이 쓴다.

보편 성질을 통한 정의

두 범주 ${\mathcal {C}}$ , ${\mathcal {D}}$ 사이의 두 함자

F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}

G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}

사이의 수반은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 사상들로 이루어진 자연 변환

\epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}

이다.

임의의 대상 $Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {D}})$ 및 $X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$ 및 사상 $f\colon F(X)\to Y$ 에 대하여, $f=\epsilon _{Y}F(g)$ 인 유일한 사상 $g\colon X\to G(Y)$ 가 존재한다.
${\begin{matrix}FG(Y)&\xrightarrow {\epsilon _{Y}} &Y\\{\scriptstyle G(\exists !g)}\uparrow &\nearrow {\scriptstyle f}\\F(X)\end{matrix}}$

마찬가지로, 다음과 같이 정의할 수 있다. $F$ 와 $G$ 사이의 수반은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 사상들로 이루어진 자연 변환

\eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF

이다.

임의의 대상 $X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$ 및 $Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {D}})$ 및 사상 $f\colon X\to G(Y)$ 에 대하여, $f=G(g)\circ \eta _{X}$ 인 유일한 사상 $g\colon F(X)\to Y$ 이 존재한다.
${\begin{matrix}X&\xrightarrow {\eta _{X}} &GF(X)\\&{\scriptstyle \forall f}\searrow &\downarrow {\scriptstyle G(\exists !g)}\\&&G(Y)\end{matrix}}$

이 두 정의는 쌍대단위원과 단위원을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, $(\epsilon ,\eta )$ 가 쌍대단위원과 단위원의 순서쌍을 이룬다면, $\epsilon$ 과 $\eta$ 를 이루는 사상들은 두 정의에서의 보편 성질을 각각 만족시킨다. 반대로, 자연 변환 $\epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}$ 을 이루는 사상들이 보편 성질을 만족시킨다면, 이를 쌍대단위원으로 삼는 단위원 $\eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF$ 을 찾을 수 있다. 마찬가지로, 보편 성질을 만족시키는 자연 변환 $\eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF$ 에 대하여, 이를 단위원으로 하는 쌍대단위원 $\epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}$ 을 찾을 수 있다.

사상 집합을 통한 정의

${\mathcal {C}}$ 와 ${\mathcal {D}}$ 가 국소적으로 작은 범주라면, 이 두 범주 사이의 수반 함자

F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G

는 다음과 같이 정의할 수 있다. $F$ 와 $G$ 사이의 수반은 함자

\hom _{\mathcal {D}}(F(-),-)\colon {\mathcal {\mathcal {C}}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {D}}\to \operatorname {Set}

\hom _{\mathcal {C}}(-,G(-))\colon {\mathcal {\mathcal {C}}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {D}}\to \operatorname {Set}

사이의 자연 동형

\Phi \colon \hom _{\mathcal {D}}(F(-),-)\Rightarrow \hom _{\mathcal {C}}(-,G(-))

이다.

국소적으로 작은 범주의 경우, 쌍대단위원 및 단위원을 통한 정의와 사상 집합을 통한 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 쌍대단위원 $\epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}$ 과 단위원 $\eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF$ 의 순서쌍이 주어졌을 때,

\Phi _{X,Y}\colon (F(X)\xrightarrow {f} Y)\longmapsto (X\xrightarrow {\eta _{X}} GF(X)\xrightarrow {G(f)} G(Y))\qquad (X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}}),\;Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {D}}))

는 자연 동형을 이룬다. 반대로, 자연 동형 $\Phi \colon \hom _{\mathcal {D}}(F(-),-)\Rightarrow \hom _{\mathcal {C}}(-,G(-))$ 이 주어졌을 때, 항등 사상에 대응하는 사상

\epsilon _{Y}=\Phi _{G(Y),Y}^{-1}(\operatorname {id} _{G(Y)})\qquad (Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {D}}))

\eta _{X}=\Phi _{X,F(X)}(\operatorname {id} _{F(X)})\qquad (X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}}))

들은 $F,G$ 의 쌍대단위원과 단위원을 이룬다.

성질

프레이드 수반 함자 정리

다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.

${\mathcal {D}}$ ${\mathcal {D}}$ 는
- 완비 범주이다.
- 국소적으로 작은 범주이다.
${\mathcal {C}}$ 는 범주이다.

프레이드 수반 함자 정리(영어: Freyd adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 $G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:121, Theorem V.6.2}

$G$ 는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
$G$ 는 모든 작은 극한을 보존하며, 해집합 조건을 만족시킨다.

여기서 해집합 조건(解集合條件, 영어: solution set condition)이란 다음과 같다. 임의의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 대상들의 집합 $\{{\tilde {X}}_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {D}}$ 및 사상들의 집합 $\{f_{i}\colon X\to G({\tilde {X}}_{i})\}_{i\in I}$ 이 존재한다.

임의의

{\tilde {Y}}\in {\mathcal {D}}

및 사상

g\colon X\to G({\tilde {Y}})

에 대하여,

g=G({\tilde {g}})\circ f_{i}

를 만족시키는

i\in I

및

{\tilde {g}}\colon {\tilde {X}}_{i}\to {\tilde {Y}}

가 존재한다.

{\begin{matrix}X&{\overset {g}{\to }}&G({\tilde {Y}})\\{\scriptstyle f_{i}}\downarrow &&\|\\G({\tilde {X}}_{i})&{\underset {G({\tilde {g}})}{\to }}&G({\tilde {Y}})\end{matrix}}

만약 실제로 어떤 수반 함자쌍

F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G

이 존재한다면, 대상 $X\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여

I=\{0\}

{\tilde {X}}_{0}=F(X)

f\colon X\to G(F(X))=G({\tilde {X}}_{0})

로 놓으면 해집합 조건이 자명하게 성립한다. 즉, 프레이드 수반 함자 정리에서 자명하지 않은 경우는 해집합 조건으로부터 왼쪽 수반 함자를 구성하는 것이다.

특수 수반 함자 정리

다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.

${\mathcal {D}}$ ${\mathcal {D}}$ 는
- 완비 범주이다.
- 국소적으로 작은 범주이다.
- 정멱 범주이다.
- 쌍대 생성 집합을 갖는다.
${\mathcal {C}}$ 는 국소적으로 작은 범주이다.

특수 수반 함자 정리(영어: special adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 $G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:129, Theorem V.8.2}

$G$ 는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
$G$ 는 모든 작은 극한을 보존하며, 단사 사상들의 (집합이 아닐 수 있는) 모임의 당김을 보존한다.

예

자유-망각 수반

대수 구조 다양체의 범주 ${\mathcal {V}}$ 에서, 자유 대수 함자

\langle -\rangle \colon \operatorname {Set} \to {\mathcal {V}}

는 망각 함자

|-|\colon {\mathcal {V}}\to \operatorname {Set}

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

\langle -\rangle \dashv |-|

곱-지수 수반

데카르트 닫힌 범주 ${\mathcal {C}}$ 의 임의의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여, 곱 함자

-\times X\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}

-\times X\colon Y\mapsto Y\times X

는 지수 대상 함자

(-)^{X}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}

(-)^{X}\colon Y\mapsto Y^{X}

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

-\times X\dashv (-)^{X}

집합과 함수의 범주에서의 곱-지수 수반은 커링이라고 한다.

다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 곱이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 텐서곱이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱 $\otimes$ 이다.)

대각-극한 수반

범주 ${\mathcal {C}}$ 및 범주 ${\mathcal {J}}$ 가 주어졌고, 모든 함자 $D\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$ 의 극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 극한 함자

\varprojlim \colon {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}

는 왼쪽 수반 함자

\Delta \dashv \varprojlim

를 가진다. 이는 ${\mathcal {C}}$ 의 대상을 상수 함자에 대응시킨다.

\Delta \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}

\Delta \colon X\mapsto (J\mapsto X)

예를 들어, ${\mathcal {C}}$ 가 곱을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면

(-)^{2}\colon {\mathcal {C}}^{2}\to {\mathcal {C}}

(-)^{2}\colon X\mapsto X\times X

\Delta \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{2}

\Delta \colon X\mapsto (X,X)

는 서로 수반 함자를 이룬다.

\Delta \dashv (-)^{2}

마찬가지로, 범주 ${\mathcal {C}}$ 및 범주 ${\mathcal {J}}$ 가 주어졌고, 모든 함자 $D\colon {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$ 의 쌍대극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대극한 함자

\varinjlim \colon {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}

는 오른쪽 수반 함자

\varinjlim \dashv \Delta

를 가진다. 즉, 만약 해당 극한 및 쌍대극한이 동시에 존재한다면

\varinjlim \dashv \Delta \dashv \varprojlim

가 된다.

참고 문헌

↑ ^가 ^나 Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.

외부 링크

“Adjoint functor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Adjoint functor”. 《nLab》 (영어).
“Left adjoint”. 《nLab》 (영어).
“Right adjoint”. 《nLab》 (영어).
“Examples of adjoint functors”. 《nLab》 (영어).
“Adjoint functor theorem”. 《nLab》 (영어).
“Solution set condition”. 《nLab》 (영어).
Armstrong, John (2007년 7월 16일). “Adjoint functors”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).
Armstrong, John (2007년 7월 17일). “The unit and counit of an adjunction”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).
Goubault-Larrecq, Jean (2015년 7월 27일). “Adjoint functor theorems: GAFT and SAFT”. 《Non-Hausdorff Topology and Domain Theory: Electronic supplements to the book》 (영어).
“How do I check if a functor has a (left/right) adjoint?”. 《Math Overflow》 (영어).

같이 보기

[MacLane-1] 가 ^나 Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.

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