하우스도르프 공간

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
위상 공간분리공리
T0 콜모고로프 공간
T1  
T2 하우스도르프 공간
T 우리손 공간
완전 T 완비 하우스도르프 공간
T3 정칙 하우스도르프 공간
T 티호노프 공간
T4 정규 하우스도르프 공간
T5 완비 정규 하우스도르프 공간
T6 완전 정규 하우스도르프 공간

일반위상수학에서, 하우스도르프 공간(영어: Hausdorff space) 또는 T2 공간(T2空間, 영어: T2-space) 또는 분리 공간(分離空間, 영어: separated space)은 서로 다른 점들을 각각 서로소 근방들로 둘러쌀 수 있는 위상 공간이다.

정의[편집]

하우스도르프 공간의 정의. 서로 다른 두 점 를 서로소 열린 근방 로 구분할 수 있다.

위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 하우스도르프 공간이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 만약 라면 , 서로소 열린 근방 가 존재한다.[1]:98
  • 임의의 두 콤팩트 집합 에 대하여, 만약 가 서로소라면, , 서로소 열린 근방 가 존재한다.[2]:124
  • 그물의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 그물 및 점 에 대하여, 만약 이며 라면 이다.[2]:86–87
  • 필터의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 필터 및 점 에 대하여, 만약 이며, 이며, 라면 이다.[2]:86–87
  • 임의의 에 대하여, 의 모든 닫힌 근방들의 교집합은 이다.
  • 곱공간 대각 부분 집합 닫힌집합이다.
  • 임의의 집합 에 대하여, 곱공간 대각 부분 집합닫힌집합이다.

위상 공간 가 다음 조건을 만족시킨다면, US 공간(영어: US space)이라고 한다.[3]:262

  • 속의 모든 점렬은 (만약 수렴한다면) 유일한 극한을 갖는다.

즉, 이 개념은 그물 또는 필터를 통한 정의에서 이를 점렬로 대체한 것이다.

위상 공간 가 다음 조건을 만족시킨다면, KC 공간(영어: KC space)이라고 한다.[3]:262

위상 공간 가 다음 조건을 만족시킨다면, 약한 하우스도르프 공간(영어: weakly Hausdorff space)이라고 한다.

  • 하우스도르프 콤팩트 공간의 연속적 상은 항상 닫힌집합이다. 즉, 임의의 하우스도르프 콤팩트 공간 연속 함수 에 대하여, 닫힌집합이다.

성질[편집]

포함 관계[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

우리손 공간(T) ⊊ 하우스도르프 공간(T2) ⊊[3]:262, Theorem 3.1 US 공간 ⊊[3]:262, Theorem 3.1 KC 공간 ⊊ 약한 하우스도르프 공간 ⊊ T1 공간
하우스도르프 공간(T2) ⊊ T1 공간차분한 공간

제1 가산 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[3]

  • US 공간이다.
  • KC 공간이다.
  • 하우스도르프 공간이다.

연산에 대한 닫힘[편집]

하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 하우스도르프 공간이다. 하우스도르프 공간의 부분 공간은 하우스도르프 공간이다. 그러나 하우스도르프 공간의 몫공간은 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

[편집]

우리손 공간이 아닌 하우스도르프 공간[편집]

양의 정수의 집합 에, 다음과 같은 기저를 주자.

이는 양의 정수의 서로소 위상(영어: relatively prime topology)이라고 한다. 이는 하우스도르프 공간이지만 우리손 공간이 아니다.[4]

하우스도르프 공간이 아닌, 모든 수렴 점렬이 유일한 극한을 갖는 공간[편집]

하우스도르프 공간은 모든 그물 또는 필터가 유일한 극한을 갖는 공간이다. 만약 그물/필터를 점렬로 약화시킨다면, 모든 점렬이 유일한 극한을 갖지만 하우스도르프 공간이 아닌 공간이 존재한다.[5]

하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T1 공간[편집]

실수선 에 새로운 점 을 추가하고, 여기에 다음과 같은 위상을 주자.

  • 의 위상에서 열린집합 에서도 열린집합이다.
  • 유한 집합이라면, 은 열린집합이다.

그렇다면 T1 공간이며 차분한 공간이지만 하우스도르프 공간이 아니다.

하우스도르프 공간이 아닌 KC 공간[편집]

비가산 집합에, 모든 가산 집합닫힌집합으로 하는 위상을 주자. 그렇다면, 이는 KC 공간이지만 (콤팩트 집합유한 집합과 같다) 하우스도르프 공간이 아니며 차분한 공간도 아니다.

역사[편집]

하우스도르프 조건은 펠릭스 하우스도르프가 1914년에 위상 공간의 개념을 최초로 정의할 때 포함했던 조건이다. 구체적으로, 하우스도르프의 정의는 다음과 같다.

근방 공리계:

🄐 각 점 는 적어도 하나 이상의 근방 를 갖는다. 임의의 근방 는 점 를 포함한다.
🄑 , 가 같은 점 근방일 때, 둘의 공통적 부분 집합인 근방 가 존재한다 ().
🄒 속의 임의의 점 에 대하여, 의 부분 집합인 근방 가 존재한다 ().
🄓 서로 다른 두 점 , 에 대하여, 점을 공유하지 않는 두 근방 , 가 존재한다 ().

Umgebungsaxiome:

🄐 Jedem Punkt entspricht mindestens eine Umgebung ; jede Umgebung enthält den Punkt .
🄑 Sind , zwei Umgebungen desselben Punktes , so gibt es eine Umgebung , die Teilmenge von beiden ist ().
🄒 Liegt der Punkt in , so gibt es eine Umgebung , die Teilmenge von ist ().
🄓 Für zwei verschiedene Punkte , gibt es zwei Umgebungen , ohne gemeinsamen Punkt ().
 
[6]:213, §VII.1

여기서 마지막 조건 🄓가 하우스도르프 조건이다. 이후 위상 공간의 정의는 이 조건을 포함하지 않게 되었고, 하우스도르프의 원래 정의를 추가로 만족시키는 공간은 "하우스도르프 공간"으로 불리게 되었다.

악한 하우스도르프 공간의 개념은 1969년에 마이클 캠벨 매코드(영어: Michael Campbell McCord)가 호모토피 이론에서의 편의를 위하여 도입하였다.[7]

참고 문헌[편집]

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. Willard, Stephen (2004). 《General Topology》. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. 
  3. Wilansky, Albert (1967년 3월). “Between T1 and T2”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 74 (3): 261–266. doi:10.2307/2316017. JSTOR 2316017. 
  4. Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001. 
  5. van Douwen, Eric K. (1993). “An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits”. 《Topology and its Applications》 (영어) 51 (2): 147–158. doi:10.1016/0166-8641(93)90147-6. 
  6. Hausdorff, Felix (1914). 《Grundzüge der Mengenlehre mit 53 Figuren im Text》 (독일어). 라이프치히: Verlag von Veit & Comp. JFM 45.0123.01. Zbl 1175.01034. 
  7. McCord, Michael C. (1969). “Classifying spaces and infinite symmetric products”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 146: 273–298. doi:10.2307/1995173. MR 0251719. 

바깥 고리[편집]