하우스도르프 공간

위상 공간의 분리공리
T0	콜모고로프 공간
T1
T2	하우스도르프 공간
T2½	우리손 공간
완전 T2½	완비 하우스도르프 공간
T3	정칙 하우스도르프 공간
T3½	티호노프 공간
T4	정규 하우스도르프 공간
T5	완비 정규 하우스도르프 공간
T6	완전 정규 하우스도르프 공간

가산 조밀 부분공간을 갖는 공간에 대해서는 분해 가능 공간 문서를 참조하십시오.

일반위상수학에서, 하우스도르프 공간(영어: Hausdorff space) 또는 T₂ 공간(T₂空間, 영어: T₂-space) 또는 분리 공간(分離空間, 영어: separated space)은 서로 다른 점들을 각각 서로소 근방들로 둘러쌀 수 있는 위상 공간이다.

정의[편집]

하우스도르프 공간의 정의. 서로 다른 두 점

x,y

를 서로소 열린 근방

U,V

로 구분할 수 있다.

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 하우스도르프 공간이라고 한다.

임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, 만약 $x\neq y$ 라면 $x\in U$ , $y\in V$ 인 서로소 열린 근방 $U,V\subset X$ 가 존재한다.^[1]^:98
임의의 두 콤팩트 집합 $C,D\subseteq X$ 에 대하여, 만약 $C$ 와 $D$ 가 서로소라면, $C\subset U$ , $D\subset V$ 인 서로소 열린 근방 $U,V\subset X$ 가 존재한다.^[2]^:124
그물의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 그물 $x_{\alpha }$ 및 점 $y_{1},y_{2}\in X$ 에 대하여, 만약 $x_{\alpha }\to y_{1}$ 이며 $x_{\alpha }\to y_{2}$ 라면 $y_{1}=y_{2}$ 이다.^[2]^:86–87
진필터의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 필터 ${\mathcal {F}}$ 및 점 $y_{1},y_{2}\in X$ 에 대하여, 만약 ${\mathcal {F}}\neq {\mathcal {P}}(X)$ 이며, ${\mathcal {F}}\to y_{1}$ 이며, ${\mathcal {F}}\to y_{2}$ 라면 $y_{1}=y_{2}$ 이다.^[2]^:86–87
임의의 $x\in X$ 에 대하여, $x$ 의 모든 닫힌 근방들의 교집합은 $\{x\}$ 이다.
곱공간 $X\times X$ 의 대각 부분 집합 $\Delta (X)=\{(x,x)\colon x\in X\}\subseteq X\times X$ 은 닫힌집합이다.
임의의 집합 $I$ 에 대하여, 곱공간 $X^{I}$ 의 대각 부분 집합은 닫힌집합이다.

위상 공간 $X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $X$ 를 US 공간(영어: US space)이라고 한다.^[3]^:262

$X$ 속의 모든 점렬은 (만약 수렴한다면) 유일한 극한을 갖는다.

즉, 이 개념은 그물 또는 필터를 통한 정의에서 이를 점렬로 대체한 것이다.

위상 공간 $X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $X$ 를 KC 공간(영어: KC space)이라고 한다.^[3]^:262

$X$ 의 모든 콤팩트 부분 공간은 닫힌집합이다.

위상 공간 $X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $X$ 를 약한 하우스도르프 공간(영어: weakly Hausdorff space)이라고 한다.

하우스도르프 콤팩트 공간의 연속적 상은 항상 닫힌집합이다. 즉, 임의의 하우스도르프 콤팩트 공간 $K$ 및 연속 함수 $f\colon K\to X$ 에 대하여, $f$ 의 상 $f(K)\subseteq X$ 는 $X$ 의 닫힌집합이다.

성질[편집]

포함 관계[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

우리손 공간(T_2½) ⊊ 하우스도르프 공간(T₂) ⊊^[3]^{:262, Theorem 3.1} US 공간 ⊊^[3]^{:262, Theorem 3.1} KC 공간 ⊊ 약한 하우스도르프 공간 ⊊ T₁ 공간

하우스도르프 공간(T₂) ⊊ T₁ 공간 ∩ 차분한 공간

제1 가산 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^[3]

US 공간이다.
KC 공간이다.
하우스도르프 공간이다.

연산에 대한 닫힘[편집]

하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 하우스도르프 공간이다. 하우스도르프 공간의 부분 공간은 하우스도르프 공간이다. 그러나 하우스도르프 공간의 몫공간은 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

약한 하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 약한 하우스도르프 공간이다. 약한 하우스도르프 공간의 부분 공간은 약한 하우스도르프 공간이다. 그러나 약한 하우스도르프 공간의 몫공간은 약한 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

약한 하우스도르프 공간[편집]

$X$ 를 약한 하우스도르프 공간이라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 와 임의의 연속 함수 $f\colon K\to X$ 에 대하여, $f$ 의 상 $f(K)\subseteq X$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 따라서, 부분공간 $A\subseteq X$ 가 k-닫힌집합일 필요충분조건은 임의의 콤팩트 하우스도르프 부분공간 $C\subseteq X$ 에 대하여 $A\cap C$ 가 닫힌집합인 것이다.

예[편집]

우리손 공간이 아닌 하우스도르프 공간[편집]

양의 정수의 집합 $\mathbb {Z} ^{+}$ 에, 다음과 같은 기저를 주자.

\left\{(a+\mathbb {Z} b)\cap \mathbb {Z} ^{+}\colon \gcd(a,b)=1\right\}

이는 양의 정수의 서로소 위상(영어: relatively prime topology)이라고 한다. 이는 하우스도르프 공간이지만 우리손 공간이 아니다.^[4]

하우스도르프 공간이 아닌, 모든 수렴 점렬이 유일한 극한을 갖는 공간[편집]

하우스도르프 공간은 모든 그물 또는 필터가 유일한 극한을 갖는 공간이다. 만약 그물/필터를 점렬로 약화시킨다면, 모든 점렬이 유일한 극한을 갖지만 하우스도르프 공간이 아닌 공간이 존재한다.^[5]

하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T₁ 공간[편집]

실수선 $\mathbb {R}$ 에 새로운 점 $\bullet$ 을 추가하고, 여기에 다음과 같은 위상을 주자.

$\mathbb {R}$ 의 위상에서 열린집합 $U$ 는 $\mathbb {R} \sqcup \{\bullet \}$ 에서도 열린집합이다.
$S\subset \mathbb {R}$ 가 유한 집합이라면, $(\mathbb {R} \setminus S)\sqcup \{\bullet \}$ 은 열린집합이다.

그렇다면 $\mathbb {R} \sqcup \{\bullet \}$ 은 T₁ 공간이며 차분한 공간이지만 하우스도르프 공간이 아니다.

하우스도르프 공간이 아닌 KC 공간[편집]

비가산 집합에, 모든 가산 집합을 닫힌집합으로 하는 위상을 주자. 그렇다면, 이는 KC 공간이지만 (콤팩트 집합은 유한 집합과 같다) 하우스도르프 공간이 아니며 차분한 공간도 아니다.

역사[편집]

하우스도르프 조건은 펠릭스 하우스도르프가 1914년에 위상 공간의 개념을 최초로 정의할 때 포함했던 조건이다. 구체적으로, 하우스도르프의 정의는 다음과 같다^[6]^{:213, §VII.1}.

근방 공리계:

🄐 각 점 $x$ 는 적어도 하나 이상의 근방 $U_{x}$ 를 갖는다. 임의의 근방 $U_{x}$ 는 점 $x$ 를 포함한다.

🄑 $U_{x}$ , $V_{x}$ 가 같은 점 $x$ 의 근방일 때, 둘의 공통적 부분 집합인 근방 $W_{x}$ 가 존재한다 ( $W_{x}\subseteq U_{x}\cap V_{x}$ ).

🄒 $U_{x}$ 속의 임의의 점 $y$ 에 대하여, $U_{x}$ 의 부분 집합인 근방 $U_{y}$ 가 존재한다 ( $U_{y}\subseteq U_{x}$ ).

🄓 서로 다른 두 점 $x$ , $y$ 에 대하여, 점을 공유하지 않는 두 근방 $U_{x}$ , $U_{y}$ 가 존재한다 ( $U_{x}\cap U_{y}=\varnothing$ ).

Umgebungsaxiome:

🄐 Jedem Punkt $x$ entspricht mindestens eine Umgebung $U_{x}$ ; jede Umgebung $U_{x}$ enthält den Punkt $x$ .

🄑 Sind $U_{x}$ , $V_{x}$ zwei Umgebungen desselben Punktes $x$ , so gibt es eine Umgebung $W_{x}$ , die Teilmenge von beiden ist ( $W_{x}\subseteqq {\mathfrak {D}}(U_{x},V_{x})$ ).

🄒 Liegt der Punkt $y$ in $U_{x}$ , so gibt es eine Umgebung $U_{y}$ , die Teilmenge von $U_{x}$ ist ( $U_{y}\subseteqq U_{x}$ ).

🄓 Für zwei verschiedene Punkte $x$ , $y$ gibt es zwei Umgebungen $U_{x}$ , $U_{y}$ ohne gemeinsamen Punkt ( ${\mathfrak {D}}(U_{x},U_{y})=0$ ).

여기서 마지막 조건 🄓가 하우스도르프 조건이다. 이후 위상 공간의 정의는 이 조건을 포함하지 않게 되었고, 하우스도르프의 원래 정의를 추가로 만족시키는 공간은 "하우스도르프 공간"으로 불리게 되었다.

악한 하우스도르프 공간의 개념은 1969년에 마이클 캠벨 매코드(영어: Michael Campbell McCord)가 호모토피 이론에서의 편의를 위하여 도입하였다.^[7]

참고 문헌[편집]

↑ Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
↑ ^가 ^나 ^다 Willard, Stephen (2004). 《General Topology》. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 Wilansky, Albert (1967년 3월). “Between T₁ and T₂”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 74 (3): 261–266. doi:10.2307/2316017. JSTOR 2316017.
↑ Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.
↑ van Douwen, Eric K. (1993). “An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits”. 《Topology and its Applications》 (영어) 51 (2): 147–158. doi:10.1016/0166-8641(93)90147-6.
↑ Hausdorff, Felix (1914). 《Grundzüge der Mengenlehre mit 53 Figuren im Text》 (독일어). 라이프치히: Verlag von Veit & Comp. JFM 45.0123.01. Zbl 1175.01034.
↑ McCord, Michael C. (1969). “Classifying spaces and infinite symmetric products”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 146: 273–298. doi:10.2307/1995173. MR 0251719.

외부 링크[편집]

“Hausdorff space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “T_2-space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “T_2-separation axiom”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Hausdorff space”. 《nLab》 (영어).
“Weakly Hausdorff topological space”. 《nLab》 (영어).
“Locally Hausdorff topological space”. 《nLab》 (영어).
“Hausdorff space”. 《Topospaces》 (영어).
“KC-space”. 《Topospaces》 (영어).
“US-space”. 《Topospaces》 (영어).
“Example of a weak Hausdorff space that is not Hausdorff” (영어). Math Overflow.
“Weak Hausdorff space not KC” (영어). StackExchange.

[Munkres-1] Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.

[Willard-2] 가 ^나 ^다 Willard, Stephen (2004). 《General Topology》. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.

[Wilansky-3] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 Wilansky, Albert (1967년 3월). “Between T₁ and T₂”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 74 (3): 261–266. doi:10.2307/2316017. JSTOR 2316017.

[4] Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.

[5] van Douwen, Eric K. (1993). “An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits”. 《Topology and its Applications》 (영어) 51 (2): 147–158. doi:10.1016/0166-8641(93)90147-6.

[6] Hausdorff, Felix (1914). 《Grundzüge der Mengenlehre mit 53 Figuren im Text》 (독일어). 라이프치히: Verlag von Veit & Comp. JFM 45.0123.01. Zbl 1175.01034.

[7] McCord, Michael C. (1969). “Classifying spaces and infinite symmetric products”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 146: 273–298. doi:10.2307/1995173. MR 0251719.

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하우스도르프 공간

목차

정의[편집]