차분한 공간

일반위상수학에서 차분한 공간(-空間, 영어: sober space)은 모든 점들이 열린집합의 격자로부터 결정되는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 차분한 공간이라고 한다.

• 모든 기약 닫힌집합이 정확히 하나의 일반점을 갖는다.
• 점들은 그 열린집합들의 격자로부터 재구성할 수 있다. 즉, $X$의 열린집합들의 완비 헤이팅 대수 $\operatorname {Open} (X)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재한다.
  • $X$
  • 틀 사상 $\operatorname {Open} (X)\to 2$들의 집합. 여기서 $2=\{0,1\}$ ($0<1$)는 한원소 공간 $\{\bullet \}$의 열린집합들의 완비 헤이팅 대수이다.
• (호프만-미슬러브 정리, 영어: Hofmann–Mislove theorem) 다음 두 부분 순서 집합 사이에 순서 동형이 존재한다.^:146:301
  • $\operatorname {Open} (X)$의 스콧 열린 필터들의 부분 순서 집합
  • $X$의 콤팩트 포화 집합의 부분 순서 집합의 반대 순서 집합.

호프만-미슬러브 정리의 증명:

위상 공간 $X$의 모든 기약 닫힌집합이 정확히 하나의 일반점을 갖는다고 하자. 호프만-미슬러브 조건을 보이려면, 다음 네 명제를 보이면 족하다.

• 임의의 스콧 열린 필터 ${\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Open} (X)$에 대하여, $\textstyle \bigcap {\mathcal {F}}$는 $X$의 콤팩트 포화 집합이다.
• 임의의 콤팩트 포화 집합 $K\subseteq X$에 대하여, 그 열린 근방 필터 ${\mathcal {U}}(K)$는 $\operatorname {Open} (X)$의 스콧 열린 필터이다.
• 임의의 스콧 열린 필터 ${\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Open} (X)$에 대하여, $\textstyle {\mathcal {U}}\left(\bigcap {\mathcal {F}}\right)={\mathcal {F}}$
• 임의의 콤팩트 포화 집합 $K\subseteq X$에 대하여, $\textstyle \bigcap {\mathcal {U}}(K)=K$

세 번째 명제의 증명. 자명하게 $\textstyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {U}}\left(\bigcap {\mathcal {F}}\right)$이다. 이제, $U$가 열린집합이며, $\textstyle \bigcap {\mathcal {F}}\subseteq U$라고 하자. 귀류법을 사용하여, $U\not \in {\mathcal {F}}$라고 하자. ${\mathcal {F}}$가 스콧 열린집합이므로, 이러한 $U$들의 임의의 사슬이 상계를 가짐을 보일 수 있다. 초른 보조정리에 따라, $U$가 $\textstyle \bigcap {\mathcal {F}}\subseteq U$이지만 $U\not \in {\mathcal {F}}$인 극대 열린집합이라고 가정하자. 그렇다면, 극대성에 따라 $X\setminus U$는 $X$의 기약 닫힌집합이다. $X\setminus U=\operatorname {cl} \{x\}$인 유일한 $x\in X$를 취하자. 그렇다면, 임의의 $V\in {\mathcal {F}}$에 대하여, $V\not \subseteq U$이므로, $x\in V$이다. 따라서, $\textstyle x\in \bigcap {\mathcal {F}}\subseteq U$이며, 이는 모순이다.

첫 번째 명제의 증명. $\textstyle \bigcap {\mathcal {F}}$는 자명하게 포화 집합이다. 이제, $\{U_{i}\}_{i\in I}$가 $\textstyle \bigcap {\mathcal {F}}$의 임의의 열린 덮개라고 하자. 즉, $\textstyle \bigcap {\mathcal {F}}\subseteq \bigcup _{i\in I}U_{i}$이다. 세 번째 명제에 따라, $\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {F}}$이다. ${\mathcal {F}}$가 $\operatorname {Open} (X)$의 스콧 열린집합이며, 유한 개의 덮개 원소의 합집합들의 집합이 $\operatorname {Open} (X)$의 상향 집합이므로, $\textstyle U_{i_{1}}\cup U_{i_{2}}\cup \dotsb \cup U_{i_{n}}\in {\mathcal {F}}$인 유한 개의 덮개 원소 $i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}\in I$가 존재한다. 따라서, $\textstyle \bigcap F\subseteq U_{i_{1}}\cup U_{i_{2}}\cup \dotsb \cup U_{i_{n}}$이다. 즉, $\{U_{i_{1}},U_{i_{2}},\dots ,U_{i_{n}}\}$은 $\{U_{i}\}_{i\in I}$의 유한 부분 덮개이다.

두 번째 명제의 증명. ${\mathcal {U}}(K)$는 자명하게 $\operatorname {Open} (X)$의 필터를 이룬다. 이제, ${\mathcal {D}}$가 $\operatorname {Open} (X)$의 상향 집합이며, $\textstyle \bigcup {\mathcal {D}}$가 $K$의 열린 근방이라고 하자. ${\mathcal {D}}\cap {\mathcal {U}}(K)\neq \varnothing$을 보이면 족하다. ${\mathcal {D}}$는 $K$의 열린 덮개이므로, 유한 부분 덮개 ${\mathcal {D}}'\subseteq {\mathcal {D}}$가 존재한다. ${\mathcal {D}}$가 상향 집합이므로, ${\mathcal {D}}'$의 상계 $U\in {\mathcal {D}}$가 존재한다. 이 경우 $\textstyle K\subseteq \bigcup {\mathcal {D}}'\subseteq U$이며, 따라서 $U\in {\mathcal {D}}\cap {\mathcal {U}}(K)$이다.

네 번째 명제의 증명. 자명하게 $\textstyle K\subseteq \bigcap {\mathcal {U}}(K)$이다. $\textstyle K=\bigcap S$인, 열린집합들의 집합 ${\mathcal {S}}$를 취하자. 그렇다면, ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {U}}(K)$이므로, $\textstyle \bigcap {\mathcal {U}}(K)\subseteq \bigcap {\mathcal {S}}=K$이다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

콜모고로프 공간(T₀) ⊋ 차분한 공간 ∪ T₁ 공간 ⊋ 차분한 공간 ∩ T₁ 공간 ⊋ 하우스도르프 공간(T₂)

그러나 T₁ 공간이 아닌 차분한 공간이 존재하며, 반대로 차분하지 않는 T₁ 공간도 존재한다.

가환환의 스펙트럼은 항상 차분한 공간이다. 또한, 모든 스킴은 차분한 공간이다. (그러나 이는 대개 하우스도르프 공간이 아니다.)

차분한 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {Sober}$는 모든 위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$의 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자

$I\colon \operatorname {Sober} \to \operatorname {Top}$

는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.

$S\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Sober}$

$S\dashv I$

위상 공간 $X$에 대하여, $S(X)$를 $X$의 차분화(영어: soberification)라고 한다.

장소와의 관계

 이 부분의 본문은 장소 (수학)입니다.

차분한 공간의 범주는 장소의 범주 $\operatorname {Loc}$의 어떤 쌍대 반사 부분 범주와 동치이다. (구체적으로, 이는 점을 충분히 가지는 장소들의 범주 $\operatorname {ptLoc}$이다.) 이에 따라, 수반 함자의 쌍

$\operatorname {Top} {\to \atop \hookleftarrow }\operatorname {Sober} \simeq \operatorname {ptLoc} {\hookrightarrow \atop \leftarrow }\operatorname {Loc}$

이 존재하며, 이를 합성하면 수반 함자 $\operatorname {Top} \rightleftarrows \operatorname {Loc}$를 얻는다. 즉, 차분한 공간은 장소로서 그 구조가 충실하게 나타내어지는 위상 공간이다.

예

T₁ 공간이 아닌 차분한 공간

극대 아이디얼이 아닌 소 아이디얼을 갖는 가환환 $R$의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} R$는 차분한 공간이지만, 소 아이디얼이 닫힌 점이 아니므로 T₁ 공간이 아니다. 이러한 가장 간단한 경우는 시에르핀스키 공간이다.

차분하지 않은 T₁ 공간

다음과 같은 단사 함수를 생각하자.

$\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{2}=\operatorname {Spec} \mathbb {R} [x,y]$

$(a,b)\mapsto \left((x-a)(x-b)\right)\subset \mathbb {R} [x,y]$

그렇다면, 이 단사 함수의 상에, 아핀 스킴 $\mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{2}$의 (자리스키 위상의) 부분 공간 위상을 주자. 그렇다면 이는 T₁ 공간이지만, 차분한 공간이 아니다. 이 공간의 차분화는 $\mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{2}$ 전체이다.

다른 예로, 임의의 무한 집합 위에 쌍대 유한 위상(닫힌집합이 유한 집합인 위상)을 주자. 이는 T₁이지만 차분한 공간이 아니다. (공간 전체는 닫힌집합이자 기약 공간이지만, 이는 일반점을 갖지 않는다.)

하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T₁ 공간

실수선 $\mathbb {R}$에 새로운 점 $\bullet$을 추가하고, 여기에 다음과 같은 위상을 주자.

• $\mathbb {R}$의 위상에서 열린집합 $U$는 $\mathbb {R} \sqcup \{\bullet \}$에서도 열린집합이다.
• $S\subset \mathbb {R}$가 유한 집합이라면, $(\mathbb {R} \setminus S)\sqcup \{\bullet \}$은 열린집합이다.

그렇다면 $\mathbb {R} \sqcup \{\bullet \}$은 T₁ 공간이며 차분한 공간이지만 하우스도르프 공간이 아니다.

외부 링크

• “Sober space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sober topological space”. 《nLab》 (영어).