붙임 공간

위상수학에서 붙임 공간(-空間, 영어: attaching/adjunction space)은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 밂이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 쌍대올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 밂을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 붙임 공간(영어: homotopy adjunction space)을 사용하여야 한다.

마찬가지로, 당김 공간(-空間, 영어: pullback space)은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 당김이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 당김을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 당김 공간(영어: homotopy pullback space)을 사용하여야 한다.

정의

붙임 공간

같은 정의역을 가진 두 연속 함수

$Y{\xleftarrow {g}}Z{\xrightarrow {f}}X$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 $X\sqcup Y$ 위에 다음과 같은 이항 관계를 정의하자.

$f(z)\succ g(z)\qquad \forall z\in Z$

이는 일반적으로 대칭 관계도, 추이적 관계도 아니다. 이를 포함하는 가장 작은 동치 관계를 $\sim$라고 표시하자. 즉, $x,y\in X\sqcup Y$에 대하여, $x\sim y$라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

$\forall x\in X,y\in Y\colon \left(x\sim y\iff \exists x_{0},\dots ,x_{k}\in X,y_{0},\dots ,y_{k}\in Y\colon x=x_{0}\succ y_{0}\prec x_{1}\succ y_{1}\prec x_{2}\succ \cdots \succ y_{k}=y\right)$

마찬가지로, $x,x'\in X$에 대하여 $x\sim x'$이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

$\forall x,x'\in X\colon \left(x\sim x'\iff \exists x_{0},\dots ,x_{k}\in X,y_{1},\dots ,y_{k}\in Y\colon x=x_{0}\succ y_{1}\prec x_{1}\succ y_{2}\prec x_{2}\succ \cdots \prec x_{k}=x'\right)$

마찬가지로, $y,y'\in Y$에 대하여 $y\sim y'$이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

$\forall y,y'\in Y\colon \left(y\sim y'\iff \exists x_{1},\dots ,x_{k}\in X,y_{1},\dots ,y_{k}\in Y\colon y=y_{0}\prec x_{1}\succ y_{1}\prec x_{2}\succ \cdots \succ y_{k}=y'\right)$

$X$와 $Y$의 $f$ 및 $g$를 통한 붙임 공간은 분리합집합의 다음과 같은 몫공간이다.

$X\cup _{f,g}Y={\frac {X\sqcup Y}{\sim }}$

이는 위상 공간의 범주의 밂을 이룬다.

붙임 공간의 구성에 따라, 붙임 공간은 $Z$의 위상에 의존하지 않는다. 따라서, $Z$에 $f$와 $g$에 대한 시작 위상을 부여하거나 이산 위상을 부여할 수 있다.

호모토피 붙임 공간

붙임 공간은 $f$나 $g$ 가운데 하나가 쌍대올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 붙임 공간을 사용하여야 한다.

연속 함수

$Y{\xleftarrow {g}}Z{\xrightarrow {f}}X$

가 주어졌을 때, 호모토피 붙임 또는 이중 사상 기둥(영어: double mapping cylinder)은 다음과 같다.

$X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y$

이 경우, 표준적인 함수

$X{\overset {f}{\hookrightarrow }}X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y$

$Y{\overset {g}{\hookrightarrow }}X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y$

는 (비호모토피 붙임 공간과 달리) 쌍대올뭉치를 이룬다.

당김 공간

같은 공역을 가진 두 연속 함수

$Y{\xrightarrow {g}}Z{\xleftarrow {f}}X$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간(영어: pullback space)은 다음과 같은, 곱공간 $X\times Y$의 부분 공간이다.

$X\times _{f,g}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}\subseteq X\times Y$

이는 위상 공간의 범주의 당김을 이룬다.

이 경우, 표준적 연속 함수

$X\times _{Z}Y\to X$

$X\times _{Z}Y\to Y$

가 존재하지만, 이들은 일반적으로 올뭉치가 아니다.

호모토피 당김 공간

당김 공간은 $f$나 $g$ 가운데 하나가 올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 당김 공간을 사용하여야 한다.

같은 공역을 가진 두 연속 함수

$Y{\xrightarrow {g}}Z{\xleftarrow {f}}X$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간(영어: pullback space)은 다음과 같은, 곱공간 $X\times \operatorname {path} (Z)\times Y$의 부분 공간이다.

$\{(x,\gamma ,y)\in X\times \operatorname {path} (X)\times Y\colon \gamma (0)=f(x),\;\gamma (1)=g(y)\}$

여기서 $X^{I}$는 (콤팩트-열린집합 위상을 부여한) 경로 공간이다.

예

사상뿔

연속 함수 $f\colon X\to Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\{\bullet \}\leftarrow X{\xrightarrow {f}}Y$에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 $\{\bullet \}$은 한원소 공간이다.)

이에 대한 붙임 공간은 $Y$의 몫공간 $Y/f(X)$이다. 그러나 이는 일반적으로 각종 분리 공리를 따르지 않는다.

반면, 호모토피 붙임 공간은 다음과 같은 뿔로 구성된다.

$\operatorname {cone} (X)\cup _{f}Y={\frac {(X\times [0,1])/(X\times \{0\})\sqcup Y}{((x,1)\sim f(x)\;\forall x\in X}}$

이를 사상뿔(寫像-, 영어: mapping cone)이라고 한다. 만약 $X$와 $Y$가 각종 분리 공리를 만족시킨다면, 그 사상뿔 역시 각종 분리 공리를 만족시킨다. 이는 호모토피 범주에서의 "몫공간"으로 생각할 수 있다. 사상뿔은 몫공간보다 더 나은 성질을 보이므로, 상대 호몰로지 $\operatorname {H} _{\bullet }(X,A)$는 보통 포함 함수 $A\hookrightarrow X$의 사상뿔의 축소 호몰로지로 정의된다.

특히, $X=Y$이며 $f=\operatorname {id} _{X}$일 경우, 이는 $X$ 위의 뿔(영어: cone) $\operatorname {cone} (X)=X\times [0,1]/(X\times \{0\})$이 된다.

사상기둥

연속 함수 $f\colon X\to Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X{\xleftarrow {\operatorname {id} }}X{\xrightarrow {f}}Y$에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 $\operatorname {id}$는 항등 함수이다.)

붙임 공간은 다음과 같은 $X\sqcup Y$의 몫공간이며, 이는 $Y$와 위상 동형이다.

$X\cup _{\operatorname {id} ,f}Y={\frac {Y\sqcup X}{f(x)\sim x\;\forall x\in X}}\cong Y$

호모토피 붙임 공간은 다음과 같이, $X$ 위의 기둥을 $Y$에 붙인 것이다.

$X\times [0,1]\cup _{f\times \{1\}}Y={\frac {X\times [0,1]\sqcup Y}{f(x)\sim (x,1)\;\forall x\in X}}$

이를 사상기둥(寫像-, 영어: mapping cylinder) $M_{f}$라고 한다.

${\begin{matrix}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\\|&&\downarrow \\X&\to &M_{f}\end{matrix}}$

이 경우, 변형 수축

$M_{f}\to Y$

이 존재하며, 따라서 $M_{f}$와 $Y$는 서로 호모토피 동치이다. 또한,

${\tilde {f}}\colon X\to M_{f}$

는 쌍대올뭉치를 이룬다. 따라서, 모든 함수는 쌍대올뭉치 및 호모토피 동치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 쌍대올분해(영어: cofibrant resolution)이다.

특히, $X=Y$이고 $f=\operatorname {id} _{X}$일 경우 사상기둥은 단순히 기둥 $X\times [0,1]$이 된다.

이음

 이 부분의 본문은 이음 (위상수학)입니다.

두 선분(녹색 및 청색으로 표시)의 이음은 위와 같이 사면체를 이룬다.

다음과 같은, 곱공간의 사영 사상의 (호모토피) 붙임 공간을 생각하자.

$X\leftarrow X\times Y\to Y$

이에 대한 붙임 공간은 한원소 공간이다. (이는 곱공간 사영 사상이 쌍대올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 반면, 이에 대한 호모토피 붙임 공간

$X*Y={\frac {X\times Y\times [0,1]}{(x,y,0)\sim (x,y',0),\;(x,y,1)\sim (x',y,1)\;\forall x,x'\in X,\;y,y'\in Y}}$

은 $X$와 $Y$의 이음이라고 하며, 일반적으로 축약 가능 공간이 아니다.

특히, 0차원 초구 $\mathbb {S} ^{0}=\{0,1\}$와의 이음은 현수 $\mathbb {S} ^{0}*X=\operatorname {S} X$라고 한다. 마찬가지로, 한원소 공간과의 이음은 뿔 $\{\bullet \}*X=\operatorname {cone} (X)$을 이룬다.

사상 경로 공간

 이 부분의 본문은 함수의 그래프입니다.

연속 함수 $f\colon X\to Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X{\xrightarrow {f}}Y{\xleftarrow {\operatorname {id} }}Y$에 대한 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다. (여기서 $\operatorname {id}$는 항등 함수이다.)

당김 공간의 경우는 이는 $X\times Y$의 부분 공간 위상을 부여한 $f$의 그래프

$\operatorname {graph} f=\{(x,f(x))\in X\times Y\colon x\in X\}\subseteq X\times Y$

이며 따라서 $X$와 위상 동형이다.

호모토피 당김 공간의 경우, 이는

$\operatorname {cocyl} f=\{(x,\gamma )\in X\times \operatorname {path} (Y)\colon f(x)=\gamma (0)\}$

를 이루며, 이를 사상 경로 공간(寫像經路空間, 영어: mapping path space) 또는 사상 쌍대기둥(영어: mapping cocylinder)이라고 한다. 그렇다면, 가환 그림은 다음과 같다.

${\begin{matrix}X&\to &Y\\\downarrow &&\|\\\operatorname {cocyl} f&\to &Y\end{matrix}}$

여기서 $\operatorname {cocyl} f$는 $X$와 약한 호모토피 동치이며 ${\tilde {f}}\colon \operatorname {cocyl} f\to Y$는 올뭉치이다. 따라서, 모든 함수는 호모토피 동치 및 올뭉치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 올분해(영어: fibrant resolution)이다.

경로 공간

위상 공간 $X$의 두 점 $x,x'\in X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$\{\bullet \}{\xrightarrow {x}}X{\xleftarrow {x'}}\{\bullet \}$

의 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다.

당김 공간은 단순히 한원소 공간이다. (이는 점 포함 사상이 올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 그러나 호모토피 당김 공간은 더 많은 정보를 가진다. 구체적으로, 이는 $X$ 위의, $x$에서 $x'$으로 가는 경로들의 공간이다. 만약 $x=x'$이라면, 이 호모토피 당김 공간의 경로 연결 성분들은 기본군 $\pi _{1}(X,x)$을 이룬다.

쐐기합

 이 부분의 본문은 쐐기합입니다.

점을 가진 공간 $(X,x)$, $(Y,y)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$X\xleftarrow {x} \{\bullet \}\xrightarrow {y} Y$

의 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다.

붙임 공간은 쐐기합 $X\vee Y=(X\sqcup Y)/\{x,y\}$이다. 호모토피 붙임 공간은

${\frac {X\sqcup Y\sqcup [0,1]}{0\sim x,\;1\sim y}}$

이다. 즉, 선분 $[0,1]$의 양끝에 $X$와 $Y$를 각각 점에서 붙인 것이다. 이는 쐐기합과 호모토피 동치이다.

참고 문헌

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001. 

외부 링크

• “Mapping-cone construction”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Mapping cylinder”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Homotopy pullback”. 《nLab》 (영어). 
• “Mapping cone”. 《nLab》 (영어). 
• “Mapping cylinder”. 《nLab》 (영어). 
• “Mapping cocone”. 《nLab》 (영어). 
• “Cocylinder”. 《nLab》 (영어). 
• “Homotopy pullbacks and homotopy pushouts” (영어). Math Overflow.