호모토피 이론에서 변형 수축(變形收縮, 영어: deformation retract)은 호모토피 유형을 보존시키면서 어떤 위상 공간을 그 부분 공간으로 오그라뜨리는 과정이다. 모든 변형 수축은 호모토피 동치이며, 반대로 모든 호모토피 동치는 변형 수축들로 나타낼 수 있다.
위상 공간
의 부분 공간
에 대하여, 만약 연속 함수
가 다음 두 조건을 만족시킨다면,
를
에서
로의 약한 변형 수축이라고 한다.


즉, 그림으로는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\downarrow &=&\downarrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\uparrow &\simeq &\uparrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7515e30f20cb6fc4edb46b186cc255db4717fd7)
즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피
가 존재하여야 한다.




위상 공간
의 부분 공간
에 대하여, 만약 연속 함수
가 다음 두 조건을 만족시킨다면,
를
에서
로의 강한 변형 수축(영어: strong deformation retract)이라고 한다.[1]:2[2]:361


즉, 그림으로는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\downarrow &=&\downarrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\uparrow &\simeq \operatorname {rel} A&\uparrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b17dddb73c565f648f02f540f04b4d507d42fa1a)
즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피
가 존재하여야 한다.



![{\displaystyle h(a,t)=a\qquad \forall a\in A,\;t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71185f448915d8fca3204e3e744db81f84fcf46c)
위상 공간
의 약한 변형 수축
가 주어졌을 때,
는
와 (강하게) 호모토피 동치이다.
일반적으로, 위상 공간
및
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.[1]:16, Corollary 0.21
와
가 (강하게) 호모토피 동치이다.
- 어떤 위상 공간
및 포함 사상
및
에 의하여,
와
는 둘 다
의 약한 변형 수축이다.
- 어떤 위상 공간
및 포함 사상
및
에 의하여,
와
는 둘 다
의 강한 변형 수축이다.
위상 공간
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 축약 가능 공간이다.
가
의 약한 변형 수축을 이루는
가 존재한다.
그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.[1]:18, Exercise 0.6b, 0.7
원점을 제거한 유클리드 공간
의 부분 공간인
차원 초구

는 다음과 같은 호모토피를 통해 강한 변형 수축을 이룬다.
![{\displaystyle h\colon \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\right)\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/811573531bff3cc2a42100ea7dc9e8465b368855)

카롤 보르수크가 1930년 박사 학위 논문에서 도입하였다.[3]