실수 항등 함수의 그래프
수학에서 항등 함수(恒等函數, 영어: identity function) 또는 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity map), 항등 변환(恒等變換, 영어: identity transformation)은 정의역과 공역이 같고, 모든 원소를 자기 자신으로 대응시키는 함수이다.
집합
의 항등 함수
는 다음과 같은 함수이다.

- 임의의
에 대하여, 
임의의 함수
에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

즉, 항등 함수는 집합의 범주에서의 항등 사상이다. 특히,
의 자기 함수의 집합
는 함수의 합성에 대하여 모노이드를 이룬다.
임의의
에 대하여,

이므로,

이다. 마찬가지로 임의의
에 대하여,

이므로,

이다.
임의의 함수
에 대하여, 다음과 두 조건이 서로 동치이다.
는 전단사 함수이다.
- 다음을 만족시키는 함수
가 존재한다. (이를
의 역함수라고 한다.)


즉, 전단사 함수는 집합의 범주에서 동형 사상이다. 특히,
의 자기 전단사 함수의 집합
은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를
의 대칭군이라고 한다.
양의 정수의 집합
의 항등 함수는 완전 곱셈적 함수에 속한다.
실수의 집합
의 항등 함수는 일차 함수에 속한다.
범주의 각 대상의 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity morphism)은 항등 함수의 개념의 일반화이다. 이는 일종의 무정의 용어이다.
범주
의 항등 함자(恒等函子, 영어: identity functor)
는 다음과 같은 함자이다.

- 모든 대상
에 대하여, 
- 모든 대상
및 사상
에 대하여, 
만약
가 작은 범주일 경우, 항등 함자
는 작은 범주의 범주에서의 항등 사상이다.
증명 (
는 함자):
함자
의 항등 자연 변환(恒等自然變換, 영어: natural transformation)
는 다음과 같은 자연 변환이다.

- 모든 대상
에 대하여, 
만약
와
가 작은 범주일 경우, 항등 자연 변환
는
와
사이의 함자 사이의 자연 변환의 범주에서의 항등 사상이다.
증명 (
는 자연 변환):