기본군

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기본군(基本群, 프랑스어: groupe fondamental 그루프 퐁다망탈[*], fundamental group)은 앙리 푸앵카레1895년의 논문에서 처음으로 사용한 대수적 위상수학의 개념으로, 호모토피 개념을 사용해 정의한 의 일종이다. 호모토피 이론을 비롯한 다양한 영역에서 자주 쓰인다. 이 개념을 일반화하면 호모토피군이 되는데, 기본군은 1차 호모토피군이다.

경로곱[편집]

기본군에서 경로의 합성

기본군을 이해하기 위해서는 먼저 경로곱 개념을 이해할 필요가 있다. 이는 [0, 1]→X이고 f(1) = g(0)인 두 경로 f, g에 대하여 다음과 같이 정의한다.[1]

  • f*g(t) = f(2t) (0≤t≤1/2), = g(2t-1) (1/2≤t≤1).

이렇게 정의할 때, 어떤 호모토피의 경로 호모토피류 [a], [b]에 대하여 다음 연산은 잘 정의된다.

  • [a][b] := [a*b]

즉, 호모토피류의 대표치를 택하는 것과는 무관하게 곱이 정의된다는 것이다.[2]

정의[편집]

어떤 위상공간 X가 주어져 있다고 하자. X의 고정점 x0을 기점으로 한 고리[3]들의 경로 호모토피류들의 집합을 π1(X, x0)이라 정의하고, 이 집합에서 두 원소 [a]와 [b]의 곱을 [a][b] := [a*b]으로 정의한다. 그러면, 이 집합은 임의의 고리 a(t)에 대해 [x0]를 항등원, a-1(t) := a(1-t)에 대해 [a-1]를 [a]의 역원으로 하는 군이 된다. 즉,

  1. (결합법칙) 임의의 고리 a, b, c에 대해, (a*b)*c \simeq_p a*(b*c).
  2. (항등원의 존재성) 기점만이 치역의 원소인 상수고리 x0와 임의의 고리 a에 대해, a*x_0 \simeq_p a.
  3. (역원의 존재성) 상수고리 x0와 임의의 고리 a에 대해, x_0 \simeq_p a*a^{-1}.

을 만족한다. 이 집합을 x0에서 X의 기본군이라 한다.[4]

X가 노상연결공간일 경우에는 X의 임의의 점에서 기본군이 모두 동형이다.[5] 따라서 이 경우 X의 기본군을 π1(X)와 같이 간단한 기호로 쓴다.

기본준군[편집]

고리에 대한 기본군의 정의를 일반적인 경로(시작점과 끝점이 다를 수 있는)로 일반화하여 기본준군(fundamental groupoid)을 얻을 수도 있다. 이 경우, 이 집합은 이상의 성질 1, 2, 3은 모두 만족하지만 일반적으로 닫혀 있지 않아 준군이 된다.[1]

기본군의 비교[편집]

만약 두 위상공간 X, Y 사이에 연속함수 f:X→Y가 존재하면, 그 두 공간의 기본군 사이에는 f에서 유도할 수 있는 다음 군 준동형사상이 존재한다.[5]

  • a가 X 상의 고리이면, f_{*}:\pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, f(x_0)) 에 대하여 f_{*}([a]) := [f \circ a].

예로 f가 상수함수이면 f \circ a 도 역시 상수함수가 되고, f* 는 항상 \pi_1(Y, f(x_0)) 의 항등원으로 가는 자명한 군 준동형사상이다.

성질[편집]

위상공간을 탐구하기 위해 유도하는 기본군은 위상공간의 특성에 대한 중요한 분석 도구로, 다음과 같은 성질을 갖는다.

기본군의 예[편집]

기본군의 유도[편집]

어떤 주어진 공간의 기본군을 직접 구하는 것은 많은 경우 쉽지 않다. 예컨대 원의 기본군이 정수군이라는 것은 직관적으로는 간단해 보이나, 엄밀히 직접 증명하기 위해서는 여러 번잡한 절차가 필요하다. 원의 경우 이러한 과정은 불가피하지만, 이 외의 많은 경우에 대해 기본군의 유도를 단순화하기 위해서 여러 도구가 고안되어 있다.

우선 어떤 공간을 이미 기본군을 아는 공간의 곱위상이나 쐐기합(부케)으로 나타낼 수 있을 경우, 기본군은 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.(여기서 '*'는 군들의 자유곱)

  1. \pi_1 (X\times Y) \cong \pi_1(X) \times \pi_1(Y) \,
  2. \pi_1 (X\vee Y) \cong \pi_1(X) * \pi_1(Y). \,

따라서 원환면의 기본군은 \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z} 와 동형이며, 원을 두 개 이어붙인 도형의 기본군은 생성원이 두 개인 자유군이 된다. 그러나 이러한 방법은 기본군을 아는 공간들로 위의 방법을 통해 분해되지 않는 일반적인 공간의 경우에는 적용하기 힘든데, 이러한 경우에도 광범위하게 적용할 수 있는 정리로 자이페르트-판 캄펀 정리가 있다. 이 정리에 따르면, 어떤 공간 X가 A∪B = X를 만족하고 A, B, A∩B가 모두 길연결인 열린 집합일 때, x0 ∈ A∩B에 대해 이들의 기본군 간에는 다음 관계식이 성립한다.[11]

  • \pi_1 (X, x_0) \cong \pi_1 (A, x_0) *_{\pi_1 (A \cap B, x_0)} \pi_1 (B, x_0).

이 정리에 따르면 2차원 구의 기본군은 자명군이 됨을 쉽게 보일 수 있다. 2차원 구에서 한 점을 뺀 것을 A, 그 반대쪽에서 한 점을 뺀 것을 B라 놓으면 A와 B는 축약가능집합이므로 이들의 기본군은 자명군이다. 따라서 위의 관계식에 따라 2차원 구의 기본군도 자명군이 되는 것이다.

붙임공간[편집]

붙임공간(attaching space)의 경우 자이페르트-판 캄펀 정리를 특수하게 이용하여 쉽게 그 기본군을 구할 수 있다.[12] 즉, 콤팩트 하우스도르프 공간인 도형 X와 연속함수 f:S1→X에 대하여, 2차원 원판 D2를 X에 붙인 붙임공간 Y := D2f X 가 유도되었을 때 그 기본군은 다음과 같이 된다.

  • \pi_1 (Y) \cong \pi_1 (X) / f_{*} \pi_1(S^1).

예로 복소평면상에서 함수 f를 f:S1→S1, f(z) := z2 와 같이 정의할 때 D2f S1은 실사영평면이 되는데, 이 기본군은 위의 공식에 의해 \pi_1 (X) / f_{*} \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_2 와 동형이다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. James R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000, pp. 326-327.
  2. 호모토피#기본 성질 참조
  3. 시작점과 끝점이 같은 단위구간 [0, 1] 상에서 X로 가는 경로.
  4. 곽진호, 이재운, 《조합적 곡면위상론》, 경문사, 2007, 162쪽.
  5. 같은 책, 167-168쪽.
  6. 같은 책, 170쪽.
  7. 군을 A, 이 교환자군을 [A, A]라 할 때 A/[A, A].
  8. 같은 책, 197-198쪽.
  9. 같은 책, 176쪽.
  10. \mathbb{R}^3 에서 원점을 통과하는 모든 직선들의 집합.
  11. 같은 책, 188쪽.
  12. 같은 책, 195-196쪽.

참고 문헌[편집]

  • 곽진호, 이재운, 《조합적 곡면위상론》, 경문사, 2007.
  • James R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000.
  • Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2006.