사영 평면

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사영기하학에서, 사영 평면(射影平面, 영어: projective plane)은 일반적인 평면과 유사하지만, “무한대”의 점이 존재하여 모든 두 직선이 항상 교차하게 되는 결합 구조이다.

정의[편집]

다각형[편집]

결합 구조 속의, 크기 유한 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, 각형(角形, 영어: -gon)이라고 한다.

  • 임의의 서로 다른 세 점 에 모두 인접하는 직선 은 존재하지 않는다.

사영 평면[편집]

결합 구조 가운데, 다음 세 조건을 만족시키는 것을 사영 평면이라고 한다.

  • 임의의 서로 다른 두 점 ()에 대하여, 인 유일한 직선 이 존재한다. 이를 보통 로 표기한다.
  • 임의의 서로 다른 두 선 에 대하여, 인 유일한 점 이 존재한다. 이를 으로 표기하자.
  • 사각형이 존재한다.

데자르그 사영 평면[편집]

사영 평면 속의 두 삼각형 , 이 주어졌다고 하고, 그 변들을 각각 이라고 하자.

만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 축배경적(영어: axially in perspective)이라고 한다.

  • , , 세 점에 모두 인접하는 직선이 존재한다.

만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 중심 배경적(영어: centrally in perspective)이라고 한다.

  • , , 세 직선에 모두 인접한 점이 존재한다.

만약 주어진 사영 평면 속의 임의의 두 삼각형에 대하여, 축배경성이 중심 배경성과 동치라면, 이 사영 평면이 데자르그 사영 평면(Desargues영어: Desarguesian projective plane)이라고 한다.

연산[편집]

쌍대 사영 평면[편집]

사영 평면 이 주어졌을 때, , 즉

  • 의 각 점에 대응하는 직선을 가지며,
  • 의 각 직선에 대응하는 점을 가지며,
  • 에서 인접하는 점과 직선은 인접하는 직선과 점에 대응되는

사영 평면을 구성할 수 있다. 이를 쌍대 사영 평면(영어: dual projective plane)이라고 한다.

성질[편집]

모든 사영 평면 에 대하여, 다음이 성립한다.

  • 인 2 이상의 (유한 또는 무한) 기수 가 존재한다. 즉, 모든 직선은 개의 점과 인접한다.
  • 모든 점은 개의 직선과 인접한다.
  • 이다.
  • 이다.

다음과 같은 추측이 존재하지만, 이는 아직 미해결 난제이다.

유한 사영 평면의 차수 는 항상 소수의 거듭제곱이다 (즉, 크기 유한체 가 존재한다.)

예를 들어, 는 차수 의 유한 사영 평면이다.

또한, 다음과 같은 추측이 존재하지만, 이 역시 미해결 난제이다.

소수 차수 의 사영 평면은 밖에 없다.

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사각형이 존재하지 않는 결합 구조[편집]

결합 구조

결합 구조 가운데, 사영 평면의 세 공리 중 처음 두 개를 만족시키지만 셋째를 만족시키지 못하는 것들은 모두 분류되었으며, 다음 세 족 가운데 하나에 속한다.

  • . 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 로 표기하자.
  • 공집합이 아닌 임의의 집합, , , . 이를 로 표기하자. 의 쌍대 사영 평면은 이다.
  • 는 임의의 집합, , , . 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 로 표기하자.

이다. 이 경우를 제외하면, 이 세 족들은 서로소이다.

데자르그 사영 평면[편집]

파노 사영 평면

모든 데자르그 사영 평면은 분류되었으며, 다음과 같은 꼴이다. 어떤 나눗셈환 에 대하여,

  • 의 원소는 속의 2차원 부분 공간에서 0을 제거한 뒤, 동치 관계를 취한 것이다.

이를 로 표기한다.

특히, 크기 2의 유한체 위의 사영 평면은 파노 사영 평면(영어: Fano projective plane)이라고 한다.

작은 유한 사영 평면[편집]

작은 차수 의 유한 사영 평면들을 생각하자. 인 유한 사영 평면들은 다음과 같다.

  • 유한체 위의 사영 평면 , , , , , ,
  • 이 밖에도, 차수가 9인 세 개의 비(非)데자르그 사영 평면이 존재한다.[1]

비(非)데자르그 사영 평면[편집]

교대 대수 에서, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 그렇다면, 위의 사영 평면을 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 사영 평면을 무팡 사영 평면(영어: Moufang projective plane)이라고 한다. 모든 데자르그 사영 평면은 무팡 사영 평면이다. 반면, 예를 들어 팔원수 위의 사영 평면은 데자르그 사영 평면이 아닌 무팡 사영 평면이다.

삼진환을 통한 구성[편집]

모든 사영 평면은 삼진환으로부터 구성될 수 있다. 반대로, 각 삼진환에는 사각형이 주어진 사영 평면을 대응시킬 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Hungerbühler, Norbert; Kusejko, Katharina (2014). “Poncelet’s Theorem in the four non-isomorphic finite projective planes of order 9” (영어). arXiv:1406.7857. 

외부 링크[편집]