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삼진환

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사영기하학에서 삼진환(三進環, 영어: ternary ring)은 사영 평면의 점의 일종의 좌표계를 구성할 수 있는 대수 구조이며, 하나의 3항 연산을 갖는다.

정의

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삼진환 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 는 3항 연산이다.
  • 는 상수(0항 연산)이다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

  • 임의의 에 대하여,
  • 임의의 에 대하여, 만약 라면, 가 유일하게 존재한다.
  • 임의의 에 대하여, 가 유일하게 존재한다.
  • 임의의 에 대하여, 만약 라면, 다음 연립 방정식은 유일한 해 를 갖는다.

성질

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특별한 이항 연산

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삼진환 이 주어졌을 때, 다음과 같은 두 연산을 정의하자.

그렇다면, 은 각각 항등원을 갖는 유사군을 이룬다.

삼진환에 대응하는 사영 평면

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삼진환 이 주어졌을 때, 이에 대응하는 다음과 같은 사영 평면 을 구성할 수 있다. 우선, 점과 직선의 집합은 각각 다음과 같다.

이 사이의 인접 관계

는 다음과 같다.

또한,

은 그 속의 사각형을 이룬다.

사각형이 주어진 모든 사영 평면은 항상 위와 같은 꼴로 구성될 수 있다.

서로 다른 두 삼진환이 동형의 사영 평면을 정의할 대수적 필요 충분 조건이 알려져 있다.[1]

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나눗셈환이라고 하자. 그렇다면,

를 정의한다면, 이는 삼중환을 이룬다.

역사

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1941년에 마셜 홀(영어: Marshall Hall)이 사영 평면을 연구하기 위하여 삼진환의 개념 및 “삼진환”(영어: ternary ring)이라는 용어를 도입하였다.[2] 이름과 달리, 삼진환은 이 아니다.

일부 문헌에서 이 개념은 “삼진체”(三進體, 영어: ternary field) 또는 “평면 삼진환”(平面三進環, 영어: planar ternary ring) 등으로 불린다.

참고 문헌

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  1. Grari, A. (2004년 9월). “A necessary and sufficient condition so that two planar ternary rings induce isomorphic projective planes”. 《Archiv der Mathematik》 (영어) 83 (2): 183–192. doi:10.1007/s00013-003-4580-9. Zbl 1067.51002. 
  2. Hall, Marshall (1943). “Projective planes”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 54: 229–277. doi:10.1090/S0002-9947-1943-0008892-4. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990331. MR 8892. Zbl 0060.32209. 

외부 링크

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