유사군

추상대수학과 범주론에서 유사군(類似群, 영어: quasigroup)은 왼쪽 나눗셈과 오른쪽 나눗셈을 정의할 수 있는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 군의 개념의 일반화이다.

정의

이항 연산의 성질을 통한 정의

다음과 같은 데이터로 구성되는 튜플 $(Q,\cdot )$를 생각하자.

• 집합 $Q$
• 이항 연산 $\cdot \colon Q\times Q\to Q$. 이를 곱셈이라고 한다.

$(Q,\cdot )$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $(Q,\cdot )$를 왼쪽 유사군(영어: left quasigroup)이라고 한다.

• (왼쪽 나눗셈) 임의의 $p,q\in Q$에 대하여, $p\cdot x=q$인 유일한 $x\in Q$가 존재한다.
• (왼쪽 작용은 순열) 임의의 $p\in Q$에 대하여, $p\cdot \in \operatorname {Sym} (Q)$

마찬가지로, $(Q,\cdot )$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $(Q,\cdot )$를 오른쪽 유사군(영어: right quasigroup)이라고 한다.

• (오른쪽 나눗셈) 임의의 $p,q\in Q$에 대하여, $y\cdot p=q$인 유일한 $y\in Q$가 존재한다.
• (오른쪽 작용은 순열) 임의의 $p\in Q$에 대하여, $\cdot p\in \operatorname {Sym} (Q)$

왼쪽 유사군이자 오른쪽 유사군인 $(Q,\cdot )$를 유사군이라고 한다.

나눗셈을 통한 정의

왼쪽 유사군 $(Q,\cdot ,\backslash )$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 집합 $Q$
• 이항 연산 $\cdot \colon Q\times Q\to Q$. 이를 곱셈이라고 한다.
• 이항 연산 $\backslash \colon Q\times Q\to Q$. 이를 왼쪽 나눗셈이라고 한다.

이들은 다음과 같은 항등식들을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $p,q\in Q$에 대하여, $p\cdot (p\backslash q)=p\backslash (p\cdot q)=q$

오른쪽 유사군 $(Q,\cdot ,/)$는 왼쪽 유사군의 반대 구조이다. 즉, 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 집합 $Q$
• 이항 연산 $\cdot \colon Q\times Q\to Q$. 이를 곱셈이라고 한다.
• 이항 연산 $/\colon Q\times Q\to Q$. 이를 오른쪽 나눗셈이라고 한다.

이들은 다음과 같은 항등식들을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $p,q\in Q$에 대하여, $(p/q)\cdot q=(p\cdot q)/q=p$

왼쪽 유사군과 오른쪽 유사군의 구조를 동시에 갖춘 $(Q,\cdot ,\backslash ,/)$를 유사군이라고 한다.

고리

고리(영어: loop)는 곱셈 항등원을 갖춘 유사군이다.

예

유한 유사군

 이 부분의 본문은 라틴 방진입니다.

유한 유사군은 라틴 방진과 동치이다.

외부 링크

• “Quasi-group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Distributive quasi-group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Loop”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Quasigroup”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraic loop”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Quasigroup”. 《nLab》 (영어). 
• “Quasigroup”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Loop”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Definition:Quasigroup”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition:Latin square property”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition:Algebra loop”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Group is quasigroup”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Group has Latin square property”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Left quasigroup if (2-3) parastrophe of magma is magma”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Right quasigroup if (1-3) parastrophe of mgma is magma”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Idempotent non-trivial quasigroup is not a loop”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “B-algebra is quasigroup”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Quasigroup is not necessarily B-algebra”. 《ProofWiki》 (영어).