유한체

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체론에서, 유한체(有限體, 영어: finite field) 또는 갈루아 체(영어: Galois field)는 유한개의 원소를 가지는 이다.

정의[편집]

유한체유한 집합이다.

유한체는 항상 양의 표수 를 갖는다 (는 소수). 표수가 인 유한체의 크기는 항상 거듭제곱이다. 즉,의 꼴이다 (). 크기가 인 유한체는 또는 이라고 쓴다. 크기가 같은 유한체는 서로 동형이다.

구성[편집]

크기가 인 유한체 은 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

우선, 는 덧셈에 대한 아벨 군으로서 단순히 순환군 이다. 곱셈은 일반적인 정수의 곱셈의 p-합동류이다.

은 다음과 같이 정의할 수 있다. 계수를 가진 n기약 일계수 다항식이라고 하자. 그렇다면 가환환으로서

이다. 여기서 로부터 생성되는 아이디얼이다. 서로 다른 기약 일계수 다항식을 사용하더라도 얻는 유한체는 서로 동형이다.

성질[편집]

유한체는 순서체가 될 수 없다. 에서는

이므로, 순서체가 만족해야 하는 부등식

을 만족시킬 수 없다.

프로베니우스 자기 동형 사상[편집]

유한체 은 다음과 같은 꼴의 개의 자기 동형 사상 을 가진다. 이를 프로베니우스 자기 동형 사상이라고 한다. 이는 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 딴 것이다.

물론 이 된다.

따라서, 유한체 자기동형군순환군 이다.

포함 관계[편집]

만약 이라면, 자연스러운 포함 관계

가 존재한다. 이에 따라 표수 p의 모든 유한체들에 대한 귀납적 극한을 취할 수 있다.

이렇게 얻은 체 는 임의의 n에 대하여 대수적 폐포이다.

이러한 포함 관계는 프로베니우스 자기 동형 사상과 교환한다. 따라서 에도 프로베니우스 자기 동형 사상이 존재한다. 이 경우 자기동형군은 정수의 환 사유한 완비

이다. 이는 자연스럽게 사유한군의 구조를 가진다.

덧셈군과 곱셈군[편집]

유한체의 가역원군 은 항상 순환군이다.

유한체 의 덧셈군은 소수 크기의 순환군들의 직합이다.

[편집]

비교적 작은 유한체의 구조는 다음과 같다.

𝔽2[편집]

+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1

𝔽3[편집]

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

𝔽4[편집]

이 경우 기약 일계수 다항식 를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

아래 표에서는 , 로 표기한다.

+ 0 1 A B
0 0 1 A B
1 1 0 B A
A A B 0 1
B B A 1 0
× 0 1 A B
0 0 0 0 0
1 0 1 A B
A 0 A B 1
B 0 B 1 A

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]