프로베니우스 사상

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가환대수학체론에서, 프로베니우스 사상(Frobenius寫像, 영어: Frobenius morphism)은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 자기 사상이다.

정의[편집]

가환환 환의 표수이며, 소수라고 하자. 그렇다면 프로베니우스 사상 은 다음과 같다.

이는 환 준동형을 이룬다. 이는

이기 때문이다.

스킴의 프로베니우스 사상[편집]

소수 가 주어졌을 때, 유한체 위의 스킴 가 주어졌다고 하자. 의 임의 아핀 부분 스킴 에 대하여, -단위 결합 대수이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이 -스킴 사상 절대 프로베니우스 사상이라고 한다.[1]:94, Definition 3.2.21 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.

여기서 -스킴의 범주 항등 함자이다.

산술·기하 프로베니우스 사상[편집]

-스킴 위의 스킴 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 절대 프로베니우스 사상 와의 올곱을 취하면

를 정의할 수 있다. 이는 함자

를 이루며, 프로베니우스 스칼라 확대(영어: extension of scalars by Frobenius)라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

산술 프로베니우스 사상(영어: arithmetic Frobenius morphism)이라고 한다.

만약 의 절대 프로베니우스 사상 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, 완전체스펙트럼이라면), 역사상 에 대한 올곱

을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상

기하 프로베니우스 사상(영어: geometric Frobenius morphism)이라고 한다.

상대 프로베니우스 사상[편집]

-스킴 위의 스킴 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올곱보편 성질에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 이 존재한다.

이를 상대 프로베니우스 사상(영어: relative Frobenius morphism)이라고 한다.[1]:94, Definition 3.2.23 이는 자연 변환

을 이룬다.

물론, 라면 (또는 보다 일반적으로 라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.

성질[편집]

소수 표수의 가환환 위의 프로베니우스 사상이 단사 함수필요충분조건축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다.

양의 표수의 체 에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 될 필요충분조건완전체인 것이다.

고정점[편집]

유한체 위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마의 소정리).

양의 표수 위의 프로베니우스 사상의 고정점다항식 의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 차 다항식의 근의 수는 개 이하이며, 는 이미 개의 근을 이루므로, 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 이다. 보다 일반적으로, 양의 표수 정역 에 대해서, 항상 분수체 를 취할 수 있으므로, 표수 의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 이다.

갈루아 군[편집]

유한체 유한 확대 갈루아 군순환군이다.

프로베니우스 자기 동형

은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.

마찬가지로, 유한체 유한 확대 갈루아 군순환군

이며, 프로베니우스 자기 동형의 제곱

은 그 생성원을 이룬다.

스킴 위의 갈루아 군의 작용[편집]

유한체 위의 스킴 가 주어졌다고 하자. 유한체 완전체이므로 의 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며, 와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 위의 자기 사상으로 생각할 수 있다.

이제, -점들의 집합 위에는 갈루아 군 (의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

또한, 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다.

이 두 작용은 서로 일치한다.

따라서, 산술 프로베니우스 사상 -점의 집합 위의 갈루아 군 작용을 나타낸다.

에탈 코호몰로지 위의 프로베니우스 사상[편집]

유한체 위의 스킴 가 주어졌다고 하자. 위의 작은 에탈 위치 를 생각하자. 그렇다면, 위의 상대 프로베니우스 사상

과 기하 프로베니우스 사상

토포스 위의 같은 기하학적 사상

을 유도한다.

특히, 위의 아벨 군 값의 이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 에탈 코호몰로지 위에 똑같이 작용한다.

수론적 성질[편집]

대수적 수론에서, 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대하여 프로베니우스 원소(영어: Frobenius element)라는, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.

국소체[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

대수적 정수환 의 유일한 극대 아이디얼라고 하고, 의 유일한 극대 아이디얼라고 하자.

그렇다면, 잉여류체 는 둘 다 유한체이며,

이다. (여기서 체의 확대의 차수이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소

가 존재하며, 이를 프로베니우스 원소라고 한다.

대역체[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 갈루아 확대대수적 수체
  • 소 아이디얼 (대수적 정수환). 소수 에 대하여 이며, 비분기라고 하자.

가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 고정시킨다. 즉, 에서의 분해군(영어: decompsition group)

갈루아 군 전체이다.

이 경우,

를 만족시키는 유일한 원소

가 존재한다. (여기서 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체이산 값매김환분수체이다.) 이를 프로베니우스 원소 라고 한다.

[편집]

유한체 계수의 유리 함수체 의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어, 는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 완전체가 아니다.

역사[편집]

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) 6. 번역 Erne, Reinie 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 
  2. Frobenius, F. G. (1896). “Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe”. 《Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin》 (독일어): 689–703. JFM 27.0091.04. 

외부 링크[편집]