국소체

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대수적 수론에서, 국소체(局所體, 영어: local field)는 위상체의 한 종류다. 대역체완비화로 얻어진다.

정의[편집]

위상체 에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상체를 국소체라고 한다.

비아르키메데스 국소체[편집]

비아르키메데스 국소체 의 이산 값매김 에 대하여,

이산 값매김환을 이루며, 이를 대수적 정수환이라고 한다. 가역원군

이며, 의 유일한 0이 아닌 소 아이디얼

이다. 주 아이디얼 정역이므로 주 아이디얼인데, 의 생성원을 균일화자(영어: uniformizer) 라고 한다. 잉여류체 유한체이다.

비아르키메데스 국소체 차 가역원군(영어: th unit group)은 다음과 같다.

0차 가역원군은 (통상적) 가역원군 이다. 이에 대하여

이며,

이다.

가역원군의 구조[편집]

국소체 가역원군의 구조는 다음과 같다. 만약 아르키메데스 체일 경우,

는 매우 익숙한 아벨 군이다.

만약 가 비아르키메데스 체일 경우,

이다. 여기서 의 정수환의 유일 극대 아이디얼이며, 의 정수환의 잉여류체 1의 거듭제곱근들의 군이며, 는 1차 가역원군이다. 구체적으로, 만약 의 차수가 유한 확대라면

이다. 여기서 의 정수환의 잉여류체의 크기다. 만약 이라면

이다.

참고 문헌[편집]

  • Serre, Jean-Pierre (1995). 《Local fields》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 67. Springer. ISBN 0-387-90424-7. 
  • Fesenko, Ivan B.; Sergei V. Vostokov (2002). 《Local fields and their extensions》. Translations of Mathematical Monographs (영어) 121 2판. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3259-2. MR 1915966. 

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