완비화 (환론)

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환론에서, 완비화(完備化, 영어: completion)는 형식적 멱급수를 취하는 연산의 일반화이며, 대략 어떤 양쪽 아이디얼을 형식적 변수처럼 생각하여 이에 대한 형식적 멱급수를 추가하는 연산이다.

정의[편집]

(곱셈 항등원을 갖는) 와 그 양쪽 아이디얼 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 몫환들을 정의할 수 있다.

의, 에 대한 완비화 는 이 몫환들의 (의 범주 에서의) 극한이다.[1]:319 (만약 가환환이라면, 이는 가환환의 범주 에서 생각하여도 좋다. 이는 반사 부분 범주이기 때문이다.) 구체적으로, 이는 다음과 같다.

이에 대하여 자연스러운 환 준동형

가 존재한다.

만약 표준적 환 준동형 동형 사상이라면, -완비환(영어: -adically complete ring)이라고 한다.

성질[편집]

양쪽 아이디얼 에 대한 -완비환 에 대하여, 다음이 성립한다.

  • [1]:320, Remark 21.30
  • 의 임의의 멱등원 에 대하여, 가 되는 멱등원 가 존재한다.[1]:320, Theorem 21.30

[편집]

정수환 를 0이 아닌 소 아이디얼 에서 완비화하면 진 정수환 를 얻는다.

에 대한 다항식환 극대 아이디얼 에서 완비화하면 형식적 거듭제곱 급수을 얻는다.

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. 

외부 링크[편집]