다항식환

대수학에서 다항식환(多項式環, 영어: polynomial ring)은 어떤 주어진 환을 계수로 하는 다항식들로 구성된 환이다.

정의

환 $R$에 대한 다항식환 $R[x]$는 집합으로서

$\{p\in R^{\mathbb {N} }\colon |\{n\in \mathbb {N} \colon p_{n}\neq 0\}|<\aleph _{0}\}$

이다. 이 집합의 원소를 다항식이라고 한다. 각 원소 $p\in R[x]$를

$p(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots$

으로 쓰자. 이 집합에서 덧셈

$p(x)+q(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(p_{n}+q_{n})x^{n}$

은 성분에 따른 합이며, 또한 자연스럽게 좌·우 $R$-가군 구조가 존재한다.

$rp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }rp_{n}x^{n}$

$p(x)r=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}rx^{n}$

또한, $R[x]$에는 다음과 같은 환의 구조가 존재한다.

$p(x)q(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}p_{k}q_{n-k}x^{n}$

다변수 다항식환(多變數多項式環, 영어: polynomial ring in several variables) $R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$은 $R[x_{1}][x_{2}]\cdots [x_{n}]$과 같다. 다변수 다항식환의 각 원소 $p\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]$는

$p(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{k}=0}^{\infty }p_{n_{1},\dots ,n_{k}}x_{1}^{n_{k}}\cdots x_{k}^{n_{k}}$

로 표기한다.

성질

차수

 다항식 § 차수 문서를 참고하십시오.

다항식 $0\neq p\in R[x]$의 차수(次數, 영어: degree)는

$\deg p=\max\{n\in \mathbb {N} \colon p_{n}\neq 0\}$

이다. 다항식 0의 차수는 정의되지 않는다 (일부 문헌은 $\deg 0=-\infty$ 또는 $\deg 0=-1$을 사용한다).

보다 일반적으로, 다변수 다항식 $0\neq p\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]$의 차수는

$\deg p=\max\{n_{1}+\cdots +n_{k}\colon p_{n_{1},\dots ,n_{k}}\neq 0\}$

이다.

다항식 $p,q\in R[x]$ (또는 다변수 다항식 $p,q\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]$)가 주어졌고, 편의상 $\deg 0=-\infty$라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.

• $\deg(p+q)\leq \max\{\deg p,\deg q\}$
• 만약 $\deg p\neq \deg q$라면, $\deg(p+q)=\max\{\deg p,\deg q\}$
• $\deg(pq)\leq \deg p+\deg q$
• 만약 $R$가 영역이라면, $\deg(pq)=\deg p+\deg q$

근

다항식 $p\in R[x]$의 근(根, 영어: root)은 $p(r)=0$을 만족시키는 환의 원소 $r\in R$를 뜻한다. 이 경우 $(x-r)^{m}\mid p(x)$를 만족시키는 최대의 정수 $m$을 근 $r$의 중복도(重復度, 영어: multiplicity)라고 한다. 중복도가 1인 근을 단순근(單純根, 영어: simple root)이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 다중근(多重根, 영어: multiple root)이라고 한다.

가환환 $R$를 계수로 하는 다항식 $p\in R[x]$ 및 환의 원소 $r\in R$가 주어졌다고 하자. 인수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $r$는 $p(x)$의 근이다.
• $x-r\mid p(x)$

가환환 $R$를 계수로 하는 다항식 $p\in R[x]$의 근 $r\in R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $r$는 $p(x)$의 단순근이다.
• $p'(r)\neq 0$

표수 $c$의 체 $K$를 계수로 하는 다항식 $p\in K[x]$의 근 $a\in K$의 중복도가 $m$이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• 만약 $c\nmid m$이라면, $p'(x)$에 대한 $a$의 중복도는 $m-1$이다.
• 만약 $c\mid m$이라면, $p'(x)$에 대한 $a$의 중복도는 $m$ 이상이다.

특히, 만약 $c=0$이거나 $c>m$이라면, $p(x)$에 대한 $a$의 중복도는

$m=\min\{k\in \mathbb {Z} ^{+}\colon p^{(k)}(a)\neq 0\}$

이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$를 계수로 하는 다항식 $p\in K[x]$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $p(x)$는 다중근을 가진다.
• $\gcd\{p(x),p'(x)\}\neq 1$

체 $K$를 계수로 하는 기약 다항식 $p\in K[x]$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $p(x)$는 분해 가능 다항식이다. (즉, 대수적 폐포 ${\bar {K}}$에서 다중근을 가진다.)
• $p'(x)=0$

특히, 만약 $K$의 표수가 0이거나, $K$가 유한체라면, $p(x)$는 분해 가능 다항식이다.

환론적 성질

환 $R$에 대하여,

• 만약 $R$가 가환환이라면, $R[x]$ 역시 가환환이다.
• 만약 $R$가 영역이라면, $R[x]$ 역시 영역이다.
• 만약 $R$가 정역이라면, $R[x]$ 역시 정역이다.
• 만약 $R$가 유일 인수 분해 정역이라면, $R[x]$ 역시 유일 인수 분해 정역이다.
• (힐베르트 기저 정리) 만약 $R$가 가환 뇌터 환이라면, $R[x]$ 역시 가환 뇌터 환이다.
• 만약 $R$가 체라면, $R[x]$는 유클리드 정역이다.

영역 $R$를 계수로 하는 다항식 $p\in R[x]$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $p(x)$는 $R[x]$의 가역원이다.
• $p\in R$이며, $p$는 $R$의 가역원이다.

보편 성질

다항식환은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 가환환 $R$, $S$ 및 환 준동형 $\phi \colon R\to S$ 및 원소 $s\in S$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 환 준동형 ${\widetilde {\phi }}\colon R[x]\to S$가 존재한다.

• ${\widetilde {\phi }}|_{R}=\phi$
• $\phi (x)=s$

특히, 다음 그림이 가환한다.

${\begin{matrix}R&\hookrightarrow &R[x]\\&{\scriptstyle \phi }\searrow &\downarrow {\scriptstyle {\widetilde {\phi }}}\\&&S\end{matrix}}$

구체적으로,

${\widetilde {\phi }}\colon p(x)\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }\phi (p_{n})s^{n}$

이다.

같이 보기

• 비가환 다항식환

참고 문헌

• Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 242 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285. LCCN 2007928732. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Polynomial ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.