다항식환

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대수학에서, 다항식환(多項式環, polynomial ring)은 어떤 주어진 의 원소를 계수로 하는 다항식, 즉

(는 형식적 기호)꼴의 식들이 상식과 일치하는 덧셈과 곱셈에 의해 이루는 이다.

정의[편집]

위의 다항식환 는,

(다항식)들의 집합

로 정의된 두 이항연산 으로 이루어진 환이다. 각 다항식들은

으로 나타내며, 이때 덧셈과 곱셈은

로 표현된다. 0이 아닌 임의의 다항식 에 대해, 유일하게

을 다항식 차수라고 하고, 로 표기한다. 즉

임의의 환 위의 다항식환 도 똑같이 정의된다.

성질[편집]

다항식환은 환으로서 만족해야할 모든 성질들을 갖춘다. 체 위의 다항식환 는 다음을 추가적으로 만족한다.

대수[편집]

에 대하여, 에 다음과 같은 스칼라배 연산을 정의할 수 있다.

이는 와 동형인 내의 상수다항식들과의 곱셈과 동등하다.

는 덧셈, 스칼라배에 의한 벡터 공간이다. 나아가 는, 덧셈, 곱셈, 스칼라배 연산에 의한 틀:수변-대수이다. 다항식 대수는 때로 대수 (또는 )의 에 의해 생성된 부분대수로 정의된다.

가환환 위의 에도, 비슷한 (가군) 연산에 의한 R-대수 구조가 존재한다. 이 비가환환이라면, 에는 연산

에 의하여 좌·우 R-가군 구조가 형성된다.

생성환과의 관계[편집]

에 대하여,

에 대한 다항식환은 유클리드 정역이다.

다변수 다항식환[편집]

과 같다.

참고 문헌[편집]

  • Hoffman, Kenneth (1971년 4월 1일). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크[편집]

같이 보기[편집]