다항식환

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대수학에서, 다항식환(多項式環, 영어: polynomial ring)은 어떤 주어진 을 계수로 하는 다항식들로 구성된 이다.

정의[편집]

에 대한 다항식환 는 집합으로서

이다. 이 집합의 원소를 다항식이라고 한다. 각 원소

으로 쓰자. 이 집합에서 덧셈

은 성분에 따른 합이며, 또한 자연스럽게 좌·우 -가군 구조가 존재한다.

또한, 에는 다음과 같은 의 구조가 존재한다.

다변수 다항식환(多變數多項式環, 영어: polynomial ring in several variables) 과 같다. 다변수 다항식환의 각 원소

로 표기한다.

성질[편집]

차수[편집]

다항식 차수(次數, 영어: degree)는

이다. 다항식 0의 차수는 정의되지 않는다 (일부 문헌은 또는 을 사용한다).

보다 일반적으로, 다변수 다항식 차수

이다.

다항식 (또는 다변수 다항식 )가 주어졌고, 편의상 라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.

  • 만약 라면,
  • 만약 영역이라면,

[편집]

다항식 (根, 영어: root)은 을 만족시키는 의 원소 를 뜻한다. 이 경우 를 만족시키는 최대의 정수 을 근 중복도(重復度, 영어: multiplicity)라고 한다. 중복도가 1인 근을 단순근(單純根, 영어: simple root)이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 다중근(多重根, 영어: multiple root)이라고 한다.

가환환 를 계수로 하는 다항식 의 원소 가 주어졌다고 하자. 인수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 의 근이다.

가환환 를 계수로 하는 다항식 의 근 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 의 단순근이다.

표수 를 계수로 하는 다항식 의 근 의 중복도가 이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

  • 만약 이라면, 에 대한 의 중복도는 이다.
  • 만약 이라면, 에 대한 의 중복도는 이상이다.

특히, 만약 이거나 이라면, 에 대한 의 중복도는

이다.

대수적으로 닫힌 체 를 계수로 하는 다항식 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 다중근을 가진다.

대수적으로 닫힌 체 를 계수로 하는 기약 다항식 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 다중근을 가진다.

를 계수로 하는 기약 다항식 가 주어졌고, 대수적 폐포라고 하자. 만약 표수가 0이거나, 유한체라면, 에서 다중근을 갖지 않는다 (즉, 분해 가능 다항식이다).

환론적 성질[편집]

에 대하여,

영역 를 계수로 하는 다항식 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 가역원이다.
  • 이며, 가역원이다.

보편 성질[편집]

다항식환은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 가환환 , 환 준동형 및 원소 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 환 준동형 가 존재한다.

특히, 다음 그림이 가환한다.

구체적으로,

이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]