가역원

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추상대수학에서, 가역원(可逆元, 영어: invertible element 또는 unit 유닛[*])은 또는 모노이드에서 곱셈에 대한 역원이 있는 원소들이다.

정의[편집]

모노이드 M의 원소 x\in M역원(영어: inverse) y

xy=yx=1

이 되는 원소 y\in M이다. 주어진 원소의 역원은 유일한데, 이는 만약 x\in M이 두 역원 y,y'\in M을 갖는다면 y'=(yx)y'=y(xy')=y가 되기 때문이다.

모노이드에서, 역원을 갖는 원소를 가역원이라고 한다. 모노이드 M의 가역원들로 구성된 부분 집합

\operatorname{Unit}(M)=\{x\in M\colon\exists y\in M\colon xy=yx=1\}

M의 부분 모노이드이자 을 이루며, 이를 M가역원군(영어: group of invertible elements, group of units)이라고 하며, M^\times 또는 \operatorname{Unit}(M)으로 표시한다.

의 가역원(군)이란 곱셈 모노이드로서의 가역원(군)을 뜻한다.

범주론적 정의[편집]

범주론적 관점에서, 모노이드는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주로 생각할 수 있으며, 이 경우 모노이드의 원소들은 유일한 대상의 자기 사상들에 대응한다. 이 경우, 가역원은 모노이드의 동형 사상과 같으며, 가역원군은 유일한 대상의 자기 동형군과 같다. 즉, 가역원의 개념은 동형 사상의 개념의 특수한 경우이다.

임의의 작은 범주는 여러 개의 대상들을 가지며, 따라서 각 대상에 대하여 고유의 가역원군을 정의할 수 있다. 또한, 주어진 작은 범주에서 동형 사상이 아닌 사상들을 삭제하면 준군을 얻으며, 이 역시 가역원군의 일반화로 간주할 수 있다.

가역원층[편집]

환 달린 공간 (X,\mathcal O_X)이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 두 열린집합 U\subseteq V\subseteq X에 대하여

\Gamma(U;\mathcal O_X^\times)=\left(\Gamma(U;\mathcal O_X)\right)^\times
\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal O_X^\times}=\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal O_X}|_{\Gamma(U;\mathcal O_X)^\times}

아벨 군 값의 \mathcal O_X^\times가 존재하며, 이를 \mathcal O_X가역원층(可逆元層, 영어: sheaf of units)이라고 한다. (여기서 \Gamma(-,-)는 층의 단면군을 뜻하며, \operatorname{res}는 두 층 단면군 사이의 제한 준동형을 뜻한다.)

성질[편집]

R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

R에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

이는 만약 0이 역원을 갖는다면 1=0^{-1}0=0이 되기 때문이다.

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바깥 고리[편집]