기약 다항식

수학에서 기약 다항식(旣約多項式, 영어: irreducible polynomial)은 더 낮은 차수의 다항식의 곱으로 표시되지 않는 다항식으로, 더 이상 인수분해가 되지 않는 다항식이 이에 포함된다.

정의[편집]

$R$ 가 정역이라고 하자.

차수 1 이상의 다항식 $p(x)\in R[x]\setminus R$ 가 다음 조건을 만족시키면, 기약 다항식이라고 한다.

(기약원) 임의의 $q(x),r(x)\in R[x]$ 에 대하여, $p(x)=q(x)r(x)$ 라면, $\deg q(x)=0$ 이거나 $\deg r(x)=0$ 이다.

원시 다항식[편집]

다항식 $0\neq p(x)\in R[x]$ 의 내용(內容, 영어: content) $\operatorname {c} _{R}(p(x))$ 은 계수의 최대 공약수이다.

\operatorname {c} (p(x))=\gcd\{p_{0},\dots ,p_{\deg p}\}

내용이 가역원인 다항식(즉, 계수가 서로소인 다항식)을 원시 다항식(原始多項式, 영어: primitive polynomial)이라고 한다.

분류[편집]

복소수체 위의 기약 다항식[편집]

복소수체는 대수적으로 닫힌 체이므로, 기약 다항식은 1차 다항식뿐이다.

실수체 위의 기약 다항식[편집]

실수체 위의 모든 기약 다항식은 1차 다항식과 판별식이 0보다 작은 2차 다항식뿐이다.

증명:

1차 다항식의 기약성: 어떤 실수 계수 1차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면 이 다항식은 두 1차 이상의 다항식의 곱으로 분해되므로, 2차 이상이게 되며, 이는 모순이다.
판별식이 0보다 작은 2차 다항식의 기약성: 어떤 판별식이 0보다 작은 2차 다항식이 기약 다항식이 아니라고 하자. 그렇다면 이 다항식은 두 실수 계수 1차 다항식으로 분해되므로, 실수 영점을 가지며, 판별식은 0보다 작지 않게 되며, 이는 모순이다.
판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식의 비기약성: 판별식이 0보다 작지 않은 2차 다항식은 실수 영점을 가지며, 두 1차 다항식의 곱으로 분해되므로, 기약 다항식이 아니다.
3차 이상의 다항식의 비기약성: $p(x)\in \mathbb {R} [x]$ 가 3차 이상의 다항식이라고 하자. 그렇다면, 대수학의 기본 정리에 따라 복소수 영점 $z\in \mathbb {C}$ 가 존재한다. 만약 $z\in \mathbb {R}$ 라면, $\mathbb {R} [x]\ni x-z\mid p(x)$ 이므로 $p(x)$ 는 기약 다항식이 아니다. 만약 $z\not \in \mathbb {R}$ 이라면, 그 켤레 복소수 ${\bar {z}}$ 역시 영점인데, 이는 $p({\bar {z}})={\bar {p}}({\bar {z}})={\overline {p(z)}}={\bar {0}}=0$ 이기 때문이다. 따라서, $\mathbb {R} [x]\ni (x-z)(x-{\bar {z}})\mid p(x)$ 이므로, $p(x)$ 는 기약 다항식이 아니다.

성질[편집]

가우스 보조정리[편집]

$R$ 가 유일 인수 분해 정역이라고 하자. 다항식 $p(x),q(x)\in R[x]$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

\operatorname {c} (p(x)q(x))=\operatorname {c} (p(x))\operatorname {c} (q(x))

특히, 두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다. 이를 가우스 보조정리(Gauß補助定理, 영어: Gauss's lemma)라고 한다.

증명:

두 원시다항식 $f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},$ $g(x)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}x^{j}$ 의 곱

f(x)g(x)=\sum _{k=0}^{m+n}c_{k}x^{k},\quad c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}

이 원시다항식이 아니라고 가정하자. 그러면 어떤 소수 $p$ 가 $c_{k}$ 의 공약수로 존재한다.

s=\min\{i:p\nmid a_{i}\},\quad t=\min\{j:p\nmid b_{j}\}

라고 하면, $p\nmid a_{s},$ $p\nmid b_{t}$ 이고, 임의의 $i<s,$ $j<t$ 에 대해 각각 $p\mid a_{i},$ $p\mid b_{j}$ 이다. $c_{s+t}$ 의 전개에서, $a_{s}b_{t}$ 외의 남은 항 $a_{i}b_{j}$ 는 $i<s$ 또는 $j<t$ 를 만족하므로(그렇지 않으면 $i+j>s+t$ 이어서 모순이다), 모두 $p\mid a_{i}b_{j}$ 이다. $p\mid c_{s+t}$ 도 성립함에 따라 $p\mid a_{s}b_{t}$ 이다. 따라서 $p\mid a_{s}$ 또는 $p\mid b_{t}$ 이며, 이는 모순이다. 그러므로 가정은 참이 아니며, $f(x)g(x)$ 는 원시다항식이다.