대수학의 기본 정리

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대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理 ; fundamental theorem of algebra)란 상수가 아닌 복소계수 다항식은 적어도 하나의 영점을 갖는다는 정리이다.

즉, 복소계수 다항식

p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0, ~a_n \neq 0, ~n\ge 1

에 대해  p(a)=0 인 복소수  a 가 적어도 하나는 존재한다는 것이다.

이 정리는 복소수체실수체와는 달리 대수적으로 닫힌 체임을 뜻한다.

역사[편집]

수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라는 예상이었다. 장 르 롱 달랑베르레온하르트 오일러 등이 증명을 시도하였으나 모두 불완전하였고, 최초로 엄밀한 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 카를 프리드리히 가우스였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 가우스는 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 아무도 발견하지 못했으며, 약간의 해석학 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다.

증명[편집]

다음은 복소해석학을 이용한 증명이다.

복소 다항식

p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0, ~a_n \neq 0, ~n\ge 1

가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수  z 에 대해  p(z)\neq 0 라고 가정하자. 그러면  \frac{1}{p(z)} 는 전해석함수이다. 이제 삼각부등식을 이용하여

|p(z)|=\left|z^{n}(a_n+\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n})\right| \ge |z|^{n}\left||a_n|-\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|\right| \cdots\cdots(a)

를 얻고, C = |a_{n-1}|+\cdots+|a_0|라 하면, 양수 M >1 에 대해 |z|\ge M이면

\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right| \le \frac{|a_{n-1}|}{|z|}+\cdots+\frac{|a_0|}{|z|^n} \le \frac{|a_{n-1}|+\cdots+{|a_0|}}{|z|}\le \frac C M

이다. 여기서 M을 충분히 큰 값으로 선택하여  \frac{C}{M} < \frac{|a_n|}{2} 가 되도록 하면 부등식

|a_n|-\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|>\frac{|a_n|}2

이 성립하므로 식 (a)로부터

\left|\frac{1}{p(z)}\right| \le \frac{2}{|a_n|M^{n}}

을 얻는다. 즉,  \frac{1}{p(z)} 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 리우빌의 정리에 의해 \frac 1 {p(z)}는 상수함수이다. 그러나 가정에서  {p(z)}는 상수가 아니라고 하였으므로 \frac 1 {p(z)} 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로  {p(z)} 는 적어도 하나의 영점을 갖는다.

따름정리[편집]

대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다.


모든 n\,차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 n\,개의 근을 갖는다. 따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식

p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0, ~a_n \neq 0, ~n\ge 1

에 대해 (서로 다를 필요는 없는) 복소수 z_1, \cdots, z_n이 존재하여

p(z) = a_n(z-z_1)(z-z_2)\dotsb(z-z_n)

와 같이 쓸 수 있다.

증명[편집]

대수학의 기본 정리에 의해  p(z_1)= 0\,인 점  z_1\,이 존재하므로

 p(z)=a_n(z-z_1)p_1(z)\,

와 같이 쓸 수 있다. 그런데  p_1(z)\, (n-1)\, 차의 다항식이므로, 다항식의 차수에 대한 귀납법을 사용하면(대수학의 기본 정리 이용) 증명이 끝난다.

실계수 다항식의 표현[편집]

실계수 n\,차 다항식의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 고려할 경우 n\,개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 n\,개의 근을 갖지 않을 수도 있다.

실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 2 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 a + bi\,가 실계수 다항식의 근이면 이의 복소켤레 a - bi\,도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 두 개의 복소계수 일차식의 곱은

(x - (a + bi))(x - (a - bi)) = ((x - a) - bi)((x - a) + bi) = ((x - a)^2 + b^2)\,

와 같이 (a, b는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다.

실계수 다항식의 근의 켤레성[편집]

만일z_0\,가 실계수 다항식

 p(z)=a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1 z +a_0,\,\,\,a_j \in \mathbb{R},\,\,n\ge 1,\,\,a_n\neq 0

의 복소수 근이면 즉,  p(z_0)=0\,이면  p(\overline{z_0})=0\,이다.

복소켤레[편집]

복소켤레 연산의 성질에 의해

 p(\overline{z_0})=a_n \overline{z_0}^n + a_{n-1}\overline{z_0}^{n-1}+\cdots+a_1 \overline{z_0} +a_0
 =\overline{a_n z_0^n} +\overline{ a_{n-1}z_0^{n-1}}+\cdots+\overline{a_1 z_0} +\overline{a_0}
 =\overline{a_n z_0^n + a_{n-1}z_0^{n-1}+\cdots+a_1 z_0 +a_0}
 = \overline{p(z_0)} =0

이다.

응용[편집]

대수학의 기본정리에 의해 n\, 차의 실계수 다항식은 반드시 n\,개의 근을 가져야 한다. 그런데 실계수 다항식의 근의 켤레성에 의해 (실수가 아닌)복소수 근을 갖지 않거나, 갖는다면 짝수개이어야 하므로 차수가 홀수인 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야함을 알 수 있다.

바깥 고리[편집]