삼각 부등식

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삼각 부등식(三角不等式)은 삼각형의 세 변에 대한 부등식으로, 임의의 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크다는 것이다. 이 부등식은 여러 공간에 적용된다.

노름 벡터 공간[편집]

두 변의 벡터를 각각 x, y라고 하면 이 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|

증명[편집]


\begin{align}
\|x + y\|^2 &= \langle x + y, x + y \rangle \\
&= \|x\|^2 + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \|y\|^2 \\
&\le \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2 \\
&\le \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 \\
&= \left(\|x\| + \|y\|\right)^2
\end{align}

거리공간[편집]

거리공간 Mx, y, z가 있고 이들 사이의 거리를 d라고 한다면 다음의 부등식이 성립한다.

d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)