부등식

수학에서, 부등식(不等式, 영어: inequality, 문화어: 안같기식)은 두 수 및 두 식에 대한 크기 비교를 나타내는 식이다. 부등식은 두 수 및 그 사이의 부등호(不等號, 영어: inequality sign)로 구성된다.

예를 들어, "a > b"는 a가 b보다 크다는 뜻이다. 반대로, "a < b"는 a가 b보다 작다는 뜻이다. "≥"와 "≤"는 두 수가 같은 경우를 포함하는 부등호이다. 또한, "a > b > c"는 a > b이며 b > c인 것을 줄여 쓴 것이며, 물론 이 경우 a > c이기도 하다.

"부등식"은 한자나 영어나 문자 겉으로는 "같지 않음"을 뜻한다.

정의

실수 집합 $\mathbb {R}$에서, 두 실수 $a,b\in \mathbb {R}$에 대한 부등식은 다음과 같다.

부등식	읽기	무변수 실례	절대 부등식 실례
$a\neq b$	$a$가 $b$와 같지 않다	$1\neq 2$ $2.5\neq 3$	$x^{2}\neq -1\qquad (x\in \mathbb {R} )$
$a>b$	$a$가 $b$보다 크다	$2>1$ $2.5>2$	$x^{2}>-1\qquad (x\in \mathbb {R} )$
$a<b$	$a$가 $b$보다 작다	$1<2$ $2<2.5$	$-1<x^{2}\qquad (x\in \mathbb {R} )$
$a\geq b$	$a$가 $b$보다 크거나 같다	$2>1$ $2\geq 2$	$x^{2}\geq 0\qquad (x\in \mathbb {R} )$
$a\leq b$	$a$가 $b$보다 작거나 같다	$1\leq 2$ $2\leq 2$	$0\leq x^{2}\qquad (x\in \mathbb {R} )$

절대 · 조건 부등식

절대 부등식(絶對不等式)은 모든 변수의 값에 대하여 항상 성립하는, 변수 있는 부등식을 말한다. 반면, 조건 부등식(條件不等式)은 특정한 범위의 변수의 값아래에서만 성립하는, 변수 있는 부등식이다. 어떤 부등식이 절대 부등식인 것을 보이는 과정을 그 부등식에 대한 증명이라고 한다. 어떤 부등식이 성립할 조건을 구하는 과정을 그 부등식에 대한 풀이라고 한다.

예를 들어, 실수 부등식

$3x+3>0$

이 성립할 필요 충분 조건은

$x>-1$

이므로, 이는 조건 부등식이다. 실수 부등식

$x^{2}+y^{2}\geq 2xy$

가 성립할 필요 충분 조건은

$x,y\in \mathbb {R}$

이므로, 이는 절대 부등식이다.

유명한 부등식

• 코시-슈바르츠 부등식
• 삼각 부등식
• 산술-기하 평균 부등식
• 마르코프 부등식
• 체비쇼프 부등식
• 민코프스키 부등식
• 연립 부등식
• 횔더 부등식

역사

토머스 해리엇(영어: Thomas Harriot)이 기호 ‘>’ 및 ‘<’를 도입하였다.^{:260, §13.3}