민코프스키 부등식

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민코프스키 부등식(독일어: Minkowski-Ungleichung, Minkowski inequality, -不等式) 또는 민코프스키 삼각부등식(-三角不等式)은 독일유대계 수학자헤르만 민코프스키가 제시한 부등식이다. 크게 세 가지 형식으로 사용되는데, 횔더 부등식토넬리의 정리에 의해 유도할 수 있다. 또한 민코프스키 부등식은 하디의 부등식 등 여러 가지 부등식을 증명하는 데 이용되기도 한다.

대수적 형태[편집]

1≤p≤∞일 때 임의의 실수 x_1, ..., x_ny_1, ..., y_n 에 대해 민코프스키 부등식의 대수적 형태는 다음과 같이 쓸 수 있다. 이는 가장 초등적인 형태이다.[1]

  • \left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}.

이는 아래의 형태에서 셈측도공간에 대해 쓴 꼴이다.

L_p 공간의 형태[편집]

1<p<∞일 때 측도 μ가 주어진 측도공간 X에 대하여 f, g가 X에서 [0, ∞]로 가는 가측함수일 때, 측도 μ에 대한 L_p 공간 L_p(\mu)에서는 민코프스키 부등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.[2]

  • \|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p.

이 형태 때문에 이 부등식이 민코프스키 삼각부등식이라 불리는 것이다. 이를 이용하면 L_p(\mu)복소벡터공간이 된다는 것은 분명하다.

적분 형태[편집]

(X, m, μ)와 (Y, n, ν)를 σ-유한 측도공간이라 하고 F를 X×Y 위에서 정의된 m×n 가측함수라 하자. 그러면 1≤p<∞인 경우 다음과 같은 적분 형태 민코프스키 부등식이 성립한다. 이 부등식은 '민코프스키 적분부등식'이라고도 한다.[3]

  • \left[\int_{X}\left(\int_{Y}F(x,y)\,d\nu(y)\right)^pd\mu(x)\right]^{1/p} \le \int_{Y}\left(\int_{X}F(x,y)^p\,d\mu(x)\right)^{1/p}d\nu(y).

위에서 p=1인 경우 이 부등식은 토넬리의 등식에서 바로 증명된다. 따라서 증명은 1<p에 대해 하면 된다. 이 정리를 증명하기 위해서는 토넬리의 정리와 횔더 부등식을 사용해야 하는데, 기본적으로는 앞의 형태들과 유사한 아이디어를 사용한다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008, 79쪽.
  2. Walter Rudin (1987), Real and complex analysis, McGraw-Hill, p.63.
  3. 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002, 258-259쪽.

참고 문헌[편집]

  • 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008
  • Walter Rudin (1987), Real and complex analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-100276-6
  • 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002