코시-슈바르츠 부등식

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

코시-슈바르츠 부등식오귀스탱 루이 코시가 만들고 헤르만 아만두스 슈바르츠가 덧붙인 절대부등식이다. 이 부등식은 선형대수학에서는 벡터를 다룰 때, 해석학에서는 무한 급수에서, 확률론에서는 분산공분산을 다룰 때와 같이 여러 상황에서 사용된다.

이 부등식은 xy실수복소수 내적 공간의 원소일 때 다음이 성립함을 나타낸다.

등호가 성립하는 것은 xy일차 종속인 경우다. 또한, xy가 n차원 공간인 경우에

라고 하면, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

n=2인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻을 수 있다.

은 보통 코시-슈바르츠 부등식으로부터 유도될 수 있다.

증명[편집]

y = 0일 경우 부등식이 성립한다는 것이 자명하므로, 를 0이 아니라고 가정할 수 있다. λ를 복소수라 하면,

로 하여 정리하면,

양변에 을 곱해서 정리하면 위의 식은 다음과 동치이다.

특수 예[편집]

L2[편집]

제곱적분 가능복소함수의 내적 공간에서 다음 부등식이 성립한다.

횔더 부등식은 이것을 일반화한 것이다.