산술-기하 평균 부등식

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수학에서, 산술-기하 평균 부등식(算術幾何平均不等式, 영어: arithmetic-geometric mean inequality)은 산술 평균기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 실수들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다.

정의[편집]

음이 아닌 실수들 이 주어졌다고 하자. 산술-기하 평균 부등식에 따르면, 다음이 성립한다.
특히, 등호가 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

증명[편집]

귀납적 증명[편집]

음이 아닌 실수 및 그 산술 평균

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

이를 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

우선, 인 경우 이는 자명하게 성립한다.

그 다음, 에 대하여 성립한다는 가정 아래, 에 대한 산술-기하 평균 부등식

가중 산술 평균가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n개의 음수가 아닌 실수들 x1, x2, …, xn과 그에 대응하는 가중치 α1, α2, …, αn가 있을 때, 가중치의 합 이라 하면 다음이 성립한다.

마찬가지로 이 부등식은 모든 xk들이 같을 때 등식이 된다.

가중 산술-기하 평균 부등식의 증명[편집]

를 가중치로 갖는 은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 는 양수라고 가정할 수 있다.

에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

일때 는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로

이다. 는 단조증가함수이므로

가 성립함이 증명된다.

제곱-산술-기하-조화 평균 부등식[편집]

산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 에 대하여, 다음이 성립한다.

특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

기타[편집]

이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식일반화된 평균 부등식이 있다.

외부 링크[편집]