
가야 신화의 구간에 대해서는
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실수
x에 양수
a를 더한 것을 수직선에 나타냈다.
x보다 크고
x +
a보다 작은 모든 수는 열린 구간에 포함된다.
수학에서 구간(區間, 영어: interval)은 원순서 집합의 주어진 두 원소 사이의 모든 원소들의 집합이다. 특히, 표준적인 전순서를 부여한 실수의 집합 위의 구간을 생각할 수 있다.
원순서 집합
이 주어졌다고 하자. 두 원소
에 대하여
를
로 표기하자.
위의 열린구간(-區間, 영어: open interval) 또는 개구간(開區間)은 다음과 같은 꼴들의 집합을 의미한다 (
).




마찬가지로,
위의 닫힌구간(영어: closed interval) 또는 폐구간(閉區間)
은 다음과 같은 꼴의 집합이다 (
).
![{\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf1b91d4e0efd987fb45e4de370662d066493f63)
마찬가지로,
위의 반열린구간(半-區間, 영어: half-open interval) 또는 반닫힌구간(半-區間, 영어: half-closed interval) 또는 반개구간(半開區間) 또는 반폐구간(半閉區間)은 다음과 같은 꼴들의 집합이다 (
).
![{\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65294a9d7cd6a779496abf27cf02d0d1c1b5668)


![{\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac1feb3c6cb6fba7d13cdd4faadf6cc95f62b64)
표준적인 전순서를 갖춘 실수
위의 구간은 가장 흔히 사용되는 구간이다. 이 경우 공집합과 한원소 집합을 제외한 구간, 다시 말해 끝점이
를 만족하는 경우만을 구간으로 삼기도 한다.
임의의 원순서 집합
에 대하여,
와
꼴의 구간들의 집합을 부분 기저로 하여 생성된 위상을 순서 위상이라고 한다.
임의의 원순서 집합
및
에 대하여,
의 상폐포·하폐포는 각각
와
이다.
실수 구간[편집]
(공집합이나 한원소 집합이 아닌) 실수 구간의 크기는 실수의 집합과 같은
이다.
실수선
의 부분 집합
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
는 (공집합과 한원소 집합을 포함한) 구간이다.
는 볼록 집합이다. 즉, 임의의
에 대하여,
이다.
는 연결 집합이다.
는 경로 연결 집합이다.
는 호 연결 집합이다.
실수 구간
의 양 끝점이
라고 하자. 그렇다면 구간
의 길이(영어: length)는 다음과 같다.

특히, 공집합이나 한원소 집합의 길이는 0이다. 구간의 길이는
위의 보렐 측도로 유일하게 확장할 수 있으며, 이를 (보렐 집합에 국한된)
위의 르베그 측도라고 한다.
가산 개의 실수 구간들의 집합
(
) 및 실수 구간
이 주어졌을 때, 만약
가
의 덮개를 이룬다면,

이다.[1]:3, §1, Theorem 1.5
우선,
가 닫힌구간이며,
가 열린구간들의 집합인 경우를 생각하자.

라고 하자. 만약
라면,
이므로,
인
가 존재하며,
가 되므로 모순이다. 따라서
이며,


인
가 존재한다. 따라서

이다.
이제 일반적인 경우를 증명하자. 임의의 양의 실수
에 대하여,
인 부분 닫힌구간
을 취하고, 각
에 대하여
인 열린구간
을 취하자. 그렇다면
는
의 덮개를 이루므로,

이다. 이에
을 취하면

를 얻는다.
외부 링크[편집]