구간

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실수 구간 $(x,x+a)$ (또는 $[x,x+a]$, $[x,x+a)$, $(x,x+a]$)

수학에서 구간(區間, 영어: interval)은 원순서 집합의 주어진 두 원소 사이의 모든 원소들의 집합이다. 특히, 표준적인 전순서를 갖춘 실수의 집합 위의 구간을 생각할 수 있다. 구간은 끝점을 포함하는지 여부에 따라

• 열린구간(-區間영어: open interval) 또는 개구간(開區間)
• 닫힌구간(-區間영어: closed interval) 또는 폐구간(閉區間)
• 반열린구간(半-區間, 영어: half-open interval) 또는 반닫힌구간(半-區間, 영어: half-closed interval) 또는 반개구간(半開區間) 또는 반폐구간(半閉區間)

의 세 가지로 나뉜다.

정의

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 두 원소 $a,b\in X$에 대하여,

$a\lesssim b\not \lesssim a$

를 $a<b$로 표기하자.

구간

원순서 집합 $(X,\lesssim )$^{:11, Definition 11}의 두 원소 $a,b\in X$를 왼쪽·오른쪽 끝점으로 하는 열린구간과 닫힌구간 및 두 개의 반열린구간은 각각 다음과 같다 (두 끝점에 대하여 $a<b$ 또는 $a\lesssim b$를 요구하기도 한다).

$(a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}$

$[a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}$

$(a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}$

$[a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}$

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 원소 $a\in X$를 왼쪽 끝점으로 하고, 오른쪽 끝점이 주어지지 않는 열린구간과 반열린구간은 각각 다음과 같다.

$(a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}$

$[a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}$

마찬가지로, 원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 원소 $b\in X$를 오른쪽 끝점으로 하고, 왼쪽 끝점이 주어지지 않는 열린구간과 반열린구간은 각각 다음과 같다.

$(-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}$

$(-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}$

왼쪽·오른쪽 끝점이 주어지지 않는 (열린)구간은 $X$ 전체이다.

$(-\infty ,\infty )=X$

원순서 집합 $(X,\lesssim )$에서, 한쪽 또는 양쪽 끝점이 주어지지 않는 구간은 새로운 최대 원소와 최소 원소를 추가하여 얻는 원순서 집합

$X\sqcup \{-\infty ,\infty \}$

$\forall x\in X\colon -\infty <x<\infty$

의 두 원소를 두 끝점으로 하는 $X\sqcup \{-\infty ,\infty \}$의 구간으로 여길 수 있다. 예를 들어, 모든 실수 구간은 두 확장된 실수를 끝점으로 한다.

순서 볼록 집합

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 부분 집합 $C\subseteq X$가 다음 조건을 만족시키면, 순서 볼록 집합(영어: order-convex set)이라고 한다.

• 임의의 $a,b\in C$에 대하여, $[a,b]\subseteq C$

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 부분 집합 $Y\subseteq X$이 주어졌다고 하자. $Y$에 포함되는 $X$의 순서 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 $Y$의 순서 볼록 성분(영어: order-convex component)이라고 한다.^{:Definition 5.1:727} 초른 보조정리에 따라, $Y$에 포함되는 $X$의 임의의 순서 볼록 집합은 항상 $Y$의 순서 볼록 성분에 포함되지만, 이러한 성분이 유일할 필요는 없다. 만약 $X$가 전순서 집합이라면, $Y$의 순서 볼록 성분들은 $Y$를 분할한다. 즉, $C\subseteq Y$인 순서 볼록 집합 $C\subseteq X$를 포함하는 순서 볼록 성분은 유일하며, 이는 다음과 같다.

$\{y\in Y\colon \exists c\in C\colon [\min\{c,y\},\max\{c,y\}]\subseteq Y\}$

성질

함의 관계

모든 구간은 순서 볼록 집합이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

실수선 $\mathbb {R}$의 부분 집합 $I\subseteq \mathbb {R}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $I$는 구간이다.
• $I$는 볼록 집합이다.
• $I$는 순서 볼록 집합이다.
• $I=\varnothing$이거나, $I$는 연결 공간이다.
• $I=\varnothing$이거나, $I$는 경로 연결 공간이다.
• $I=\varnothing$이거나, $I$는 호 연결 공간이다.

보다 일반적으로, 선형 연속체 $(L,\leq )$의 부분 집합 $S\subseteq L$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{:153, Theorem 24.1}

• $S$는 구간이다.
• $S$는 순서 볼록 집합이다.
• $S=\varnothing$이거나, $L$에 순서 위상을 가했을 때 $S$는 연결 공간이다.

폐포

실수 구간의 폐포는 다음과 같다.^{:214, Lemma 9.1.12}

$\operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b]$

$\operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty )$

$\operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a]$

$\operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty )$

볼록 부분 격자

 이 부분의 본문은 볼록 부분 격자입니다.

격자 $L$의 부분 집합 $S\subseteq L$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $S$는 부분 격자이며, 순서 볼록 집합이다.
• $S=I\cap F$인 순서 아이디얼 $I\subseteq L$과 필터 $F\subseteq L$이 존재한다.

예

단위 구간

$[0,1]=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leq x\leq 1\}$

은 0보다 크거나 그와 같고, 1보다 작거나 그와 같은 실수들의 집합이다. 구간

$(0,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\}$

은 모든 양의 실수들의 집합이다.

유리수의 전순서 집합 $\mathbb {Q}$의 부분 집합

$\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}\subseteq \mathbb {Q}$

는 순서 볼록 집합이지만, (${\sqrt {2}}$가 무리수이므로) $\mathbb {Q}$의 구간이 아니다.

같이 보기

• 호 (기하학)
• 부등식
• 선분
• 구간의 분할

외부 링크

• “Interval and segment”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Interval”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Interval”. 《nLab》 (영어).