구간

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수학에서, 구간(區間, 영어: interval)은 원순서 집합의 주어진 두 원소 사이의 모든 원소들의 집합이다. 특히, 표준적인 전순서를 부여한 실수의 집합 위의 구간을 생각할 수 있다.

정의[편집]

원순서 집합 이 주어졌다고 하자. 두 원소 에 대하여 로 표기하자. 위의 열린구간(-區間, 영어: open interval) 또는 개구간(開區間)은 다음과 같은 꼴들의 집합을 의미한다 ().

마찬가지로, 위의 닫힌구간(영어: closed interval) 또는 폐구간(閉區間) 은 다음과 같은 꼴의 집합이다 ().

마찬가지로, 위의 반열린구간(半-區間, 영어: half-open interval) 또는 반닫힌구간(半-區間, 영어: half-closed interval) 또는 반개구간(半開區間) 또는 반폐구간(半閉區間)은 다음과 같은 꼴들의 집합이다 ().

표준적인 전순서를 갖춘 실수 위의 구간은 가장 흔히 사용되는 구간이다. 이 경우 공집합한원소 집합을 제외한 구간, 다시 말해 끝점이 를 만족하는 경우만을 구간으로 삼기도 한다.

성질[편집]

임의의 원순서 집합 에 대하여, 꼴의 구간들의 집합을 부분 기저로 하여 생성된 위상순서 위상이라고 한다.

임의의 원순서 집합 에 대하여, 상폐포·하폐포는 각각 이다.

실수 구간[편집]

(공집합이나 한원소 집합이 아닌) 실수 구간의 크기는 실수의 집합과 같은 이다.

실수선 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

실수 구간 의 양 끝점이 라고 하자. 그렇다면 구간 길이(영어: length)는 다음과 같다.

특히, 공집합이나 한원소 집합의 길이는 0이다. 구간의 길이는 위의 보렐 측도로 유일하게 확장할 수 있으며, 이를 (보렐 집합에 국한된) 위의 르베그 측도라고 한다.

가산 개의 실수 구간들의 집합 () 및 실수 구간 이 주어졌을 때, 만약 덮개를 이룬다면,

이다.[1]:3, §1, Theorem 1.5

증명:

우선, 가 닫힌구간이며, 가 열린구간들의 집합인 경우를 생각하자.

라고 하자. 만약 라면, 이므로, 가 존재하며, 가 되므로 모순이다. 따라서 이며,

가 존재한다. 따라서

이다.

이제 일반적인 경우를 증명하자. 임의의 양의 실수 에 대하여, 인 부분 닫힌구간 을 취하고, 각 에 대하여 인 열린구간 을 취하자. 그렇다면 의 덮개를 이루므로,

이다. 이에 을 취하면

를 얻는다.

각주[편집]

  1. Oxtoby, John C. (1980). 《Measure and Category. A Survey of the Analogies between Topological and Measure Spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 2 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4684-9339-9. ISBN 978-1-4684-9341-2. ISSN 0072-5285. MR 0584443. Zbl 0435.28011. 

외부 링크[편집]