볼록 집합
수학에서, 볼록 집합(영어: convex set)은 임의의 두 점을 잇는 선분을 포함하는, 유클리드 공간의 부분 집합이다.
정의[편집]
실수 위상 벡터 공간 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 볼록 집합이라고 한다.
- 임의의 및 에 대하여,
국소 볼록 집합(영어: locally convex set)은 임의의 점이 (그 부분 집합에서의) 볼록 근방을 갖는 부분 집합이다.
다각 연결 집합[편집]
실수 위상 벡터 공간 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 다각 연결 집합(영어: polygonally connected set)이라고 한다.
- 임의의 에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 자연수 및 가 존재한다.
- 각 및 임의의 에 대하여,
위 정의에서 을 어떤 자연수로 고정하면, -다각 연결 집합(영어: -polygonally connected set)의 정의를 얻는다. 이 경우, 볼록 집합은 1-다각 연결 집합과 동치이다.
성질[편집]
모든 다각 연결 집합은 경로 연결 공간이다. 모든 -다각 연결 집합은 다각 연결 집합이다. (그러나 다각 연결 집합은 어떤 에 대하여 -다각 연결 집합일 필요가 없다.) 모든 별모양 집합은 2-다각 연결 집합이다. 모든 (공집합이 아닌) 볼록 집합은 별모양 집합이다.
유클리드 공간[편집]
실수 노름 공간의 연결 열린집합은 항상 다각 연결 집합이다.[1]
유클리드 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음이 성립한다.
- (티체-나카지마 정리, 영어: Tietze–Nakajima theorem) 만약 가 닫힌집합이며, 연결 공간이며, 국소 볼록 집합이라면, 는 볼록 집합이다.[2]
- 보다 일반적으로, 만약 가 닫힌집합이며, 연결 집합이며, 개 이하의 국소 비볼록점을 갖는다면, 는 -다각 연결 집합이다.[2]
- 보다 일반적으로, 만약 가 닫힌집합이며, 연결 집합이며, 의 국소 비볼록점의 집합이 (서로소일 필요가 없는) 개의 볼록 집합의 합집합이라면, 는 -다각 연결 집합이다.[2]
예[편집]
집합
은 경로 연결 공간이지만, 의 다각 연결 집합이 아니다.
역사[편집]
티체-나카지마 정리는 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(독일어: Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)[3]와 나카지마(영어: S. Nakajima)[4]가 모두 1928년 논문에서 독립적으로 증명하였다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- ↑ Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 (영어) 3차 개정 증보판. ISBN 1-4196-2722-8. Zbl 1093.55001.
- ↑ 가 나 다 Valentine, F. A. (1965). “Local convexity and Ln sets”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 16: 1305–1310. doi:10.2307/2035920. ISSN 0002-9939. MR 0185510. Zbl 0135.40702.
- ↑ Tietze, Heinrich (1928). “Über Konvexheit im kleinen und im großen und über gewisse den Punkten einer Menge zugeordnete Dimensionszahlen”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 28: 697–707. doi:10.1007/BF01181191. ISSN 0025-5874. JFM 54.0797.01. MR 1544985.
- ↑ Nakajima, S. (1928). “Über konvexe Kurven und Flächen”. 《Tohoku Mathematical Journal》 (독일어) 29: 227–230. ISSN 0040-8735. JFM 54.0799.04.
외부 링크[편집]
위키미디어 공용에 볼록 집합 관련 미디어 분류가 있습니다.
- “Convex set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Convex”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “What are the open subsets of Rn that are diffeomorphic to Rn”. 《Stack Exchange》 (영어).
- “Proof that convex open sets in Rn are homeomorphic?”. 《Stack Exchange》 (영어).