최대 원소와 최소 원소

순서론에서, 최대 원소(最大元素, 영어: maximum element, greatest element)와 최소 원소(最小元素, 영어: minimum element, least element)는 부분 순서 집합에서 모든 원소들과 비교 가능하며, 가장 크거나 가장 작은 원소이다. 극대 원소와 극소 원소보다 강한 조건이다.

정의

부분 순서 집합 $(P,\leq )$ 의 최대 원소는 다음 성질을 만족시키는 원소 $m\in P$ 이다.^[1]^: 16

모든 $a\in P$ 에 대하여, $a\leq m$ 이다. 즉, $P$ 를 범주로 여겼을 때, $m$ 은 $P$ 의 끝 대상이다.

부분 순서 집합 $(P,\leq )$ 의 최소 원소는 반대 순서 집합 $P^{\operatorname {op} }=(P,\geq )$ 의 최대 원소이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 원소 $m\in P$ 이다.^[1]^: 16

모든 $a\in P$ 에 대하여, $m\leq a$ 이다. 즉, $P$ 를 범주로 여겼을 때, $m$ 은 $P$ 의 시작 대상이다.

어떤 부분 순서 집합이 최대 원소 및 최소 원소를 갖는다면, 유계 집합이라고 한다.

성질

모든 최대 원소는 극대 원소이며, 최소 원소는 극소 원소이다. 전순서 집합에서는 모든 극대 원소는 최대 원소이며, 모든 극소 원소는 최소 원소이다.

만약 어떤 부분 순서 집합이 최대 원소를 갖는다면, 이는 유일하며, 또한 최대 원소가 아닌 극대 원소는 존재하지 않는다. 마찬가지로, 만약 어떤 부분 순서 집합이 최소 원소를 갖는다면, 이는 유일하며, 또한 최소 원소가 아닌 극소 원소는 존재하지 않는다.

만약 최대 원소가 존재한다면, 보통 $\top$ 또는 1로 표기한다. 마찬가지로, 최소 원소는 보통 $\bot$ 또는 1로 표기한다.

예

실수의 전순서 집합 $(\mathbb {R} ,\leq )$ 은 극대 · 극소 원소를 갖지 않는다. 닫힌 단위 구간 $([0,1],\leq )$ 은 최대 · 최소 원소를 가지지만, 열린 단위 구간 $((0,1),\leq )$ 은 최대 원소나 최소 원소를 갖지 않는다.

반사슬의 모든 원소는 극대 원소이자 극소 원소이다. 크기가 2 이상인 반사슬의 경우, 모든 원소는 최대 원소나 최소 원소가 아니다.

모든 불 대수나 헤이팅 대수는 최대 원소 및 최소 원소를 갖는다. 이들은 각각 고전 명제 논리 및 직관 논리의 참값과 대응하는데, 이 경우 최대 원소는 참인 명제, 최소 원소는 거짓인 명제에 대응한다.

어떤 집합 $S$ 의 부분 집합들의 격자 $({\mathcal {P}}(S),\subseteq )$ 는 최소 원소 $\varnothing$ 및 최대 원소 $S$ 를 갖는다.

환 $R$ 의 아이디얼들의 부분 순서 집합은 최대 원소 $R=(1)$ 및 최소 원소 $\{0\}=(0)$ 을 갖는다. 고유 아이디얼( $R$ 전체가 아닌 아이디얼)들의 부분 순서 집합의 극대 원소는 극대 아이디얼이라고 한다. 정역 $R$ 의 경우, $(r)$ 가 고유 주 아이디얼들의 부분 순서 집합의 극대 원소인 경우 $r$ 를 기약원이라고 한다.

극대 원소의 존재는 초른 보조정리를 통해 보일 수 있다.

부분 순서 집합 $(P,\leq )$ 의 필터들의 부분 순서 집합은 최대 원소 $P$ 및 최소 원소 $\varnothing$ 을 갖는다. 고유 필터들의 부분 순서 집합의 극대 원소는 극대 필터라고 한다. 불 대수의 극대 필터는 고전 명제 논리의 완전 무모순적 이론에 대응한다.^[2]^{: 39, 정리 1.26}

참고 문헌

1 2 Davey, Brian A.; Priestley, Hilary A. (2002). 《Introduction to lattices and order》 2판 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511809088. ISBN 978-0-521-78451-1. MR 1902334. Zbl 1002.06001.
↑ 冯琦 (2017). 《数理逻辑导引》 (중국어). 现代数学基础丛书 172. 베이징: 科学出版社. ISBN 978-7-03-054579-4.

외부 링크

“Maximum and minimum points” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Maximum and minimum of a function” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximum” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Minimum” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Bottom” (영어). 《nLab》.
“Top” (영어). 《nLab》.

[DP-1] 1 2 Davey, Brian A.; Priestley, Hilary A. (2002). 《Introduction to lattices and order》 2판 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511809088. ISBN 978-0-521-78451-1. MR 1902334. Zbl 1002.06001.

[冯琦-2] 冯琦 (2017). 《数理逻辑导引》 (중국어). 现代数学基础丛书 172. 베이징: 科学出版社. ISBN 978-7-03-054579-4.

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