명제 논리

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명제 논리(命題論理, 영어: propositional logic)는 내부 구조가 없는 명제논리합이나 부정 따위의 논리 연산을 가하여 구성한 명제들을 다루는 논리 체계이다.[1]:30, Chapter 3

정의[편집]

문법[편집]

명제 논리의 언어는 다음과 같은 기호들로 구성된다.

명제 논리의 논리식은 다음 문법을 따르는 명제 논리 기호들의 문자열이다.

  • 모든 원자 명제는 논리식이다.
  • 논리식 에 대하여, 는 논리식이다.
  • 논리식 에 대하여, 는 논리식이다.

공리와 추론 규칙[편집]

명제 논리의 추론 규칙공리 기본꼴들은 (임의의 논리식을 나타내는 기호 , , 를 사용하여) 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  • 추론 규칙
    • (전건 긍정의 형식)

  • 공리 기본꼴

공리와 추론 규칙 (부정과 논리합을 사용할 경우)[편집]

명제 논리는 또 다른 함수적 완전 집합 을 사용하여 전개할 수 있으며, 이 경우 명제 논리의 추론 규칙과 공리 기본꼴들은 (임의의 논리식을 나타내는 기호 , , 를 사용하여) 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  • 추론 규칙
    • (선언 도입, 영어: disjunction introduction, 또는 확장 규칙, 영어: expansion rule)

    • (축소 규칙, 영어: contraction rule)

    • (결합 규칙, 영어: associative rule)

    • (절단 규칙, 영어: cut rule)

  • 공리 기본꼴
    • (배중률)

의미론[편집]

명제 논리의 구조(構造, 영어: structure)는

꼴의 함수이다. (여기서 1, 0은 각각 메타 언어에서의 참과 거짓을 나타낸다.) 명제 논리의 구조 는 모든 논리식의 집합 위의 함수로 다음과 같이 확장할 수 있다.

  • 논리식 에 대하여, 일 필요충분조건은
  • 논리식 에 대하여, 일 필요충분조건은 이거나

논리식 와 구조 가 주어졌을 때, 만약 이라면, 만족(滿足, 영어: satisfy)시킨다고 하며, 이를

로 표기한다.

명제 논리의 논리식의 집합을 명제 논리의 이론(理論, 영어: theory)이라고 한다. 명제 논리의 이론 와 구조 가 주어졌을 때, 만약 임의의 에 대하여 라면, 모형(模型, 영어: model)이라고 하며, 이를

로 표기한다. 모형을 갖는 이론을 만족 가능 이론(滿足可能理論, 영어: satisfiable theory)이라고 한다.

성질[편집]

명제 논리는 건전성, 완전성, 콤팩트성 정리를 만족시킨다.

논리 연산과 함수적 완전 집합[편집]

개의 원자 명제로 구성된 명제 논리의 논리식이 가질 수 있는 진리표는 총 개이다. 특히, 명제 논리는 총 16개의 (서로 동치가 아닌) 2항 논리 연산이 존재하며, 이들은 다음과 같다.

모순 명제 논리곱 비함의 역비함의 부정 논리합 실질적 동치
1 1 0 1 0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
항진 명제 부정 논리곱 실질적 함의 역함의 논리합 배타적 논리합
1 1 1 0 1 1 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 0 1 1 0

명제 논리의 구조는 총 개이다.

주어진 명제 논리의 2항 이하의 논리 연산의 집합으로부터 구성된 논리식이 모든 진리표를 나타낼 수 있고, 임의의 한 논리 연산을 제거하였을 때 나타낼 수 없는 진리표가 존재하게 된다면, 이 집합을 (극소) 함수적 완전 집합((極小)函數的完全集合, 영어: (minimal) functionally complete set)이라고 한다. 명제 논리의 극소 함수적 완전 집합은 정확히 다음과 같다.[2]:132

  • 크기 1 (총 2개)
  • 크기 2 (총 18개)
  • 크기 3 (총 6개)
  • 크기 4 이상의 극소 함수적 완전 집합은 존재하지 않는다.

각주[편집]

  1. Srivastava, S. M. (2008). 《A Course on Mathematical Logic》. Universitext (영어). New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-76275-3. LCCN 2008920049. doi:10.1007/978-0-387-76277-7. 
  2. Wernick, William (1942년 1월). “Complete Sets of Logical Functions”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 51 (1): 117-132. ISSN 0002-9947. JSTOR 1989982. 

외부 링크[편집]

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